Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7785 / 1690
↖ ↑ ↗
← N 72.046840°
E162.114258°		 ← 1 506.21 m → N 72.046840°
E162.158203°		 →
↑
1 506.74 m
↓
↑
1 506.74 m
↓
N 72.033289°
E162.114258°		 ← 1 507.31 m →
2 270 297 m²		 N 72.033289°
E162.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95037841796875 y=0.20635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95037841796875 × 213)
    floor (0.95037841796875 × 8192)
    floor (7785.5)     		tx = 7785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20635986328125 × 213)
    floor (0.20635986328125 × 8192)
    floor (1690.5)     		ty = 1690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7785 / 1690 ti = "13/7785/1690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7785/1690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7785 ÷ 213
    7785 ÷ 8192     		x = 0.9503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1690 ÷ 213
    1690 ÷ 8192     		y = 0.206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9503173828125 × 2 - 1) × π
    0.900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82942756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206298828125 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82942756} λ = 2.82942756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84537888777368))-π/2
    2×atan(6.33049788431883)-π/2
    2×1.41412544929127-π/2
    2.82825089858254-1.57079632675     		φ = 1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82942756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7785 KachelY 1690 2.82942756 1.25745457 162.114258 72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 7786 KachelY 1690 2.83019455 1.25745457 162.158203 72.046840
    Unten links KachelX 7785 KachelY + 1 1691 2.82942756 1.25721807 162.114258 72.033289
    Unten rechts KachelX + 1 7786 KachelY + 1 1691 2.83019455 1.25721807 162.158203 72.033289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25745457-1.25721807) × R
    0.000236499999999973 × 6371000     		dl = 1506.74149999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25745457-1.25721807) × R
    0.000236499999999973 × 6371000     		dr = 1506.74149999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82942756-2.83019455) × cos(1.25745457) × R
    0.000766989999999801 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 1506.20973222116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82942756-2.83019455) × cos(1.25721807) × R
    0.000766989999999801 × 0.308464370267563 × 6371000     		du = 1507.30907551613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25745457)-sin(1.25721807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.308464370267563)×R²
    abs(2.83019455-2.82942756)×0.000224975914162817×R²
    0.000766989999999801×0.000224975914162817×6371000²
    0.000766989999999801×0.000224975914162817×40589641000000     		ar = 2270296.93490439m²