Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77848 / 56984
↖ ↑ ↗
← N 22.857195°
E 33.815918°		 ← 281.44 m → N 22.857195°
E 33.818665°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 22.854664°
E 33.815918°		 ← 281.45 m →
79 219 m²		 N 22.854664°
E 33.818665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593936920166016 y=0.434757232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593936920166016 × 217)
    floor (0.593936920166016 × 131072)
    floor (77848.5)     		tx = 77848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434757232666016 × 217)
    floor (0.434757232666016 × 131072)
    floor (56984.5)     		ty = 56984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77848 / 56984 ti = "17/77848/56984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77848/56984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77848 ÷ 217
    77848 ÷ 131072     		x = 0.59393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56984 ÷ 217
    56984 ÷ 131072     		y = 0.43475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59393310546875 × 2 - 1) × π
    0.1878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59019911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43475341796875 × 2 - 1) × π
    0.1304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.40995636555072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59019911} λ = 0.59019911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40995636555072))-π/2
    2×atan(1.50675203738308)-π/2
    2×0.98486481604271-π/2
    1.96972963208542-1.57079632675     		φ = 0.39893331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59019911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39893331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.857195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77848 KachelY 56984 0.59019911 0.39893331 33.815918 22.857195
    Oben rechts KachelX + 1 77849 KachelY 56984 0.59024705 0.39893331 33.818665 22.857195
    Unten links KachelX 77848 KachelY + 1 56985 0.59019911 0.39888913 33.815918 22.854664
    Unten rechts KachelX + 1 77849 KachelY + 1 56985 0.59024705 0.39888913 33.818665 22.854664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39893331-0.39888913) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39893331-0.39888913) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59019911-0.59024705) × cos(0.39893331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921475858571429 × 6371000     		do = 281.442445996129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59019911-0.59024705) × cos(0.39888913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921493018758449 × 6371000     		du = 281.447687158949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39893331)-sin(0.39888913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921475858571429-0.921493018758449)×R²
    abs(0.59024705-0.59019911)×1.71601870204707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71601870204707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71601870204707e-05×40589641000000     		ar = 79218.5624296768m²