Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77846 / 56942
↖ ↑ ↗
← N 22.963451°
E 33.810425°		 ← 281.22 m → N 22.963451°
E 33.813171°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
N 22.960922°
E 33.810425°		 ← 281.23 m →
79 085 m²		 N 22.960922°
E 33.813171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593921661376953 y=0.434436798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593921661376953 × 217)
    floor (0.593921661376953 × 131072)
    floor (77846.5)     		tx = 77846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434436798095703 × 217)
    floor (0.434436798095703 × 131072)
    floor (56942.5)     		ty = 56942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77846 / 56942 ti = "17/77846/56942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77846/56942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77846 ÷ 217
    77846 ÷ 131072     		x = 0.593917846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56942 ÷ 217
    56942 ÷ 131072     		y = 0.434432983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593917846679688 × 2 - 1) × π
    0.187835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59010323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434432983398438 × 2 - 1) × π
    0.131134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.411969715334763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59010323} λ = 0.59010323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411969715334763))-π/2
    2×atan(1.50978871219065)-π/2
    2×0.98579207948955-π/2
    1.9715841589791-1.57079632675     		φ = 0.40078783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59010323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.810425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40078783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.963451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77846 KachelY 56942 0.59010323 0.40078783 33.810425 22.963451
    Oben rechts KachelX + 1 77847 KachelY 56942 0.59015117 0.40078783 33.813171 22.963451
    Unten links KachelX 77846 KachelY + 1 56943 0.59010323 0.40074369 33.810425 22.960922
    Unten rechts KachelX + 1 77847 KachelY + 1 56943 0.59015117 0.40074369 33.813171 22.960922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40078783-0.40074369) × R
    4.41400000000258e-05 × 6371000     		dl = 281.215940000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40078783-0.40074369) × R
    4.41400000000258e-05 × 6371000     		dr = 281.215940000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59010323-0.59015117) × cos(0.40078783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920753912741739 × 6371000     		do = 281.221945156857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59010323-0.59015117) × cos(0.40074369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920771132794781 × 6371000     		du = 281.2272046043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40078783)-sin(0.40074369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920753912741739-0.920771132794781)×R²
    abs(0.59015117-0.59010323)×1.72200530423883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72200530423883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72200530423883e-05×40589641000000     		ar = 79084.8331890833m²