Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77844 / 57467
↖ ↑ ↗
← N 21.629346°
E 33.804932°		 ← 283.92 m → N 21.629346°
E 33.807678°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.626793°
E 33.804932°		 ← 283.93 m →
80 603 m²		 N 21.626793°
E 33.807678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593906402587891 y=0.438442230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593906402587891 × 217)
    floor (0.593906402587891 × 131072)
    floor (77844.5)     		tx = 77844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438442230224609 × 217)
    floor (0.438442230224609 × 131072)
    floor (57467.5)     		ty = 57467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77844 / 57467 ti = "17/77844/57467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77844/57467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77844 ÷ 217
    77844 ÷ 131072     		x = 0.593902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57467 ÷ 217
    57467 ÷ 131072     		y = 0.438438415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438438415527344 × 2 - 1) × π
    0.123123168945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.386802843034233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59000736} λ = 0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386802843034233))-π/2
    2×atan(1.47226619512129)-π/2
    2×0.974149813429748-π/2
    1.9482996268595-1.57079632675     		φ = 0.37750330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37750330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.629346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77844 KachelY 57467 0.59000736 0.37750330 33.804932 21.629346
    Oben rechts KachelX + 1 77845 KachelY 57467 0.59005530 0.37750330 33.807678 21.629346
    Unten links KachelX 77844 KachelY + 1 57468 0.59000736 0.37745874 33.804932 21.626793
    Unten rechts KachelX + 1 77845 KachelY + 1 57468 0.59005530 0.37745874 33.807678 21.626793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37750330-0.37745874) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dl = 283.891759999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37750330-0.37745874) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dr = 283.891759999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59000736-0.59005530) × cos(0.37750330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929587817331319 × 6371000     		do = 283.920047003217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59000736-0.59005530) × cos(0.37745874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92960424125645 × 6371000     		du = 283.925063292704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37750330)-sin(0.37745874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929587817331319-0.92960424125645)×R²
    abs(0.59005530-0.59000736)×1.64239251305709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64239251305709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64239251305709e-05×40589641000000     		ar = 80603.2738979212m²