Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77844 / 57205
↖ ↑ ↗
← N 22.296720°
E 33.804932°		 ← 282.59 m → N 22.296720°
E 33.807678°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.294179°
E 33.804932°		 ← 282.59 m →
79 847 m²		 N 22.294179°
E 33.807678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593906402587891 y=0.436443328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593906402587891 × 217)
    floor (0.593906402587891 × 131072)
    floor (77844.5)     		tx = 77844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436443328857422 × 217)
    floor (0.436443328857422 × 131072)
    floor (57205.5)     		ty = 57205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77844 / 57205 ti = "17/77844/57205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77844/57205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77844 ÷ 217
    77844 ÷ 131072     		x = 0.593902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57205 ÷ 217
    57205 ÷ 131072     		y = 0.436439514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436439514160156 × 2 - 1) × π
    0.127120971679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.399362310734688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59000736} λ = 0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399362310734688))-π/2
    2×atan(1.49087368030486)-π/2
    2×0.979973754197411-π/2
    1.95994750839482-1.57079632675     		φ = 0.38915118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38915118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.296720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77844 KachelY 57205 0.59000736 0.38915118 33.804932 22.296720
    Oben rechts KachelX + 1 77845 KachelY 57205 0.59005530 0.38915118 33.807678 22.296720
    Unten links KachelX 77844 KachelY + 1 57206 0.59000736 0.38910683 33.804932 22.294179
    Unten rechts KachelX + 1 77845 KachelY + 1 57206 0.59005530 0.38910683 33.807678 22.294179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38915118-0.38910683) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dl = 282.553849999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38915118-0.38910683) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dr = 282.553849999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59000736-0.59005530) × cos(0.38915118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925231438152748 × 6371000     		do = 282.589496668882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59000736-0.59005530) × cos(0.38910683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925248263774598 × 6371000     		du = 282.594635646886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38915118)-sin(0.38910683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925231438152748-0.925248263774598)×R²
    abs(0.59005530-0.59000736)×1.6825621849792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6825621849792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6825621849792e-05×40589641000000     		ar = 79847.4762854106m²