Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7784 / 4971
↖ ↑ ↗
← N 57.574779°
W  8.964844°		 ← 1 310.05 m → N 57.574779°
W  8.942871°		 →
↑
1 310.26 m
↓
↑
1 310.26 m
↓
N 57.562996°
W  8.964844°		 ← 1 310.47 m →
1 716 781 m²		 N 57.562996°
W  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475128173828125 y=0.303436279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475128173828125 × 214)
    floor (0.475128173828125 × 16384)
    floor (7784.5)     		tx = 7784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303436279296875 × 214)
    floor (0.303436279296875 × 16384)
    floor (4971.5)     		ty = 4971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7784 / 4971 ti = "14/7784/4971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7784/4971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7784 ÷ 214
    7784 ÷ 16384     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4971 ÷ 214
    4971 ÷ 16384     		y = 0.30340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30340576171875 × 2 - 1) × π
    0.3931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23523802940961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23523802940961))-π/2
    2×atan(3.43919705332797)-π/2
    2×1.28783289382504-π/2
    2.57566578765007-1.57079632675     		φ = 1.00486946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00486946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.574779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7784 KachelY 4971 -0.15646604 1.00486946 -8.964844 57.574779
    Oben rechts KachelX + 1 7785 KachelY 4971 -0.15608255 1.00486946 -8.942871 57.574779
    Unten links KachelX 7784 KachelY + 1 4972 -0.15646604 1.00466380 -8.964844 57.562996
    Unten rechts KachelX + 1 7785 KachelY + 1 4972 -0.15608255 1.00466380 -8.942871 57.562996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00486946-1.00466380) × R
    0.000205659999999996 × 6371000     		dl = 1310.25985999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00486946-1.00466380) × R
    0.000205659999999996 × 6371000     		dr = 1310.25985999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.00486946) × R
    0.000383490000000014 × 0.536198407045136 × 6371000     		do = 1310.04787846716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.00466380) × R
    0.000383490000000014 × 0.536371991660691 × 6371000     		du = 1310.4719829672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00486946)-sin(1.00466380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536198407045136-0.536371991660691)×R²
    abs(-0.15608255--0.15646604)×0.000173584615555056×R²
    0.000383490000000014×0.000173584615555056×6371000²
    0.000383490000000014×0.000173584615555056×40589641000000     		ar = 1716780.99943641m²