Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7784 / 4387
↖ ↑ ↗
← N 63.830980°
W  8.964844°		 ← 1 077.51 m → N 63.830980°
W  8.942871°		 →
↑
1 077.72 m
↓
↑
1 077.72 m
↓
N 63.821288°
W  8.964844°		 ← 1 077.88 m →
1 161 450 m²		 N 63.821288°
W  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475128173828125 y=0.267791748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475128173828125 × 214)
    floor (0.475128173828125 × 16384)
    floor (7784.5)     		tx = 7784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267791748046875 × 214)
    floor (0.267791748046875 × 16384)
    floor (4387.5)     		ty = 4387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7784 / 4387 ti = "14/7784/4387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7784/4387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7784 ÷ 214
    7784 ÷ 16384     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4387 ÷ 214
    4387 ÷ 16384     		y = 0.26776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26776123046875 × 2 - 1) × π
    0.4644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45919922443451))-π/2
    2×atan(4.30251280138046)-π/2
    2×1.34242854379182-π/2
    2.68485708758364-1.57079632675     		φ = 1.11406076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11406076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7784 KachelY 4387 -0.15646604 1.11406076 -8.964844 63.830980
    Oben rechts KachelX + 1 7785 KachelY 4387 -0.15608255 1.11406076 -8.942871 63.830980
    Unten links KachelX 7784 KachelY + 1 4388 -0.15646604 1.11389160 -8.964844 63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 7785 KachelY + 1 4388 -0.15608255 1.11389160 -8.942871 63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11406076-1.11389160) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dl = 1077.71836000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11406076-1.11389160) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dr = 1077.71836000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.11406076) × R
    0.000383490000000014 × 0.441020643164557 × 6371000     		do = 1077.508158075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.11389160) × R
    0.000383490000000014 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 1077.87907295705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11406076)-sin(1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441020643164557-0.441172457439575)×R²
    abs(-0.15608255--0.15646604)×0.000151814275017981×R²
    0.000383490000000014×0.000151814275017981×6371000²
    0.000383490000000014×0.000151814275017981×40589641000000     		ar = 1161450.19866602m²