Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7784 / 3235
↖ ↑ ↗
← N 73.003333°
W  8.964844°		 ← 714.19 m → N 73.003333°
W  8.942871°		 →
↑
714.32 m
↓
↑
714.32 m
↓
N 72.996909°
W  8.964844°		 ← 714.45 m →
510 252 m²		 N 72.996909°
W  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475128173828125 y=0.197479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475128173828125 × 214)
    floor (0.475128173828125 × 16384)
    floor (7784.5)     		tx = 7784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197479248046875 × 214)
    floor (0.197479248046875 × 16384)
    floor (3235.5)     		ty = 3235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7784 / 3235 ti = "14/7784/3235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7784/3235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7784 ÷ 214
    7784 ÷ 16384     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3235 ÷ 214
    3235 ÷ 16384     		y = 0.19744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19744873046875 × 2 - 1) × π
    0.6051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90098569133295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90098569133295))-π/2
    2×atan(6.69248791951686)-π/2
    2×1.42247242878014-π/2
    2.84494485756028-1.57079632675     		φ = 1.27414853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27414853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.003333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7784 KachelY 3235 -0.15646604 1.27414853 -8.964844 73.003333
    Oben rechts KachelX + 1 7785 KachelY 3235 -0.15608255 1.27414853 -8.942871 73.003333
    Unten links KachelX 7784 KachelY + 1 3236 -0.15646604 1.27403641 -8.964844 72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 7785 KachelY + 1 3236 -0.15608255 1.27403641 -8.942871 72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27414853-1.27403641) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dl = 714.316520000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27414853-1.27403641) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dr = 714.316520000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.27414853) × R
    0.000383490000000014 × 0.292316070200316 × 6371000     		do = 714.190946068115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15608255) × cos(1.27403641) × R
    0.000383490000000014 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 714.452909899837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27414853)-sin(1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292316070200316-0.292423291158863)×R²
    abs(-0.15608255--0.15646604)×0.000107220958547649×R²
    0.000383490000000014×0.000107220958547649×6371000²
    0.000383490000000014×0.000107220958547649×40589641000000     		ar = 510251.954292739m²