Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7784 / 1694
↖ ↑ ↗
← N 71.992578°
E162.070312°		 ← 1 510.61 m → N 71.992578°
E162.114258°		 →
↑
1 511.14 m
↓
↑
1 511.14 m
↓
N 71.978988°
E162.070312°		 ← 1 511.71 m →
2 283 574 m²		 N 71.978988°
E162.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95025634765625 y=0.20684814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95025634765625 × 213)
    floor (0.95025634765625 × 8192)
    floor (7784.5)     		tx = 7784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20684814453125 × 213)
    floor (0.20684814453125 × 8192)
    floor (1694.5)     		ty = 1694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7784 / 1694 ti = "13/7784/1694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7784/1694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7784 ÷ 213
    7784 ÷ 8192     		x = 0.9501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1694 ÷ 213
    1694 ÷ 8192     		y = 0.206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9501953125 × 2 - 1) × π
    0.900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82866057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206787109375 × 2 - 1) × π
    0.58642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.842310926198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82866057} λ = 2.82866057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.842310926198))-π/2
    2×atan(6.31110592216257)-π/2
    2×1.4136519253832-π/2
    2.82730385076639-1.57079632675     		φ = 1.25650752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82866057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25650752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.992578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7784 KachelY 1694 2.82866057 1.25650752 162.070312 71.992578
    Oben rechts KachelX + 1 7785 KachelY 1694 2.82942756 1.25650752 162.114258 71.992578
    Unten links KachelX 7784 KachelY + 1 1695 2.82866057 1.25627033 162.070312 71.978988
    Unten rechts KachelX + 1 7785 KachelY + 1 1695 2.82942756 1.25627033 162.114258 71.978988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25650752-1.25627033) × R
    0.000237189999999998 × 6371000     		dl = 1511.13748999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25650752-1.25627033) × R
    0.000237189999999998 × 6371000     		dr = 1511.13748999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82866057-2.82942756) × cos(1.25650752) × R
    0.000766990000000245 × 0.309140193008558 × 6371000     		do = 1510.6114788061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82866057-2.82942756) × cos(1.25627033) × R
    0.000766990000000245 × 0.309365755908841 × 6371000     		du = 1511.71369040481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25650752)-sin(1.25627033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309140193008558-0.309365755908841)×R²
    abs(2.82942756-2.82866057)×0.000225562900282861×R²
    0.000766990000000245×0.000225562900282861×6371000²
    0.000766990000000245×0.000225562900282861×40589641000000     		ar = 2283574.44578896m²