Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77838 / 58997
↖ ↑ ↗
← N 17.672811°
E 33.788452°		 ← 291.01 m → N 17.672811°
E 33.791199°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.670194°
E 33.788452°		 ← 291.02 m →
84 693 m²		 N 17.670194°
E 33.791199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593860626220703 y=0.450115203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593860626220703 × 217)
    floor (0.593860626220703 × 131072)
    floor (77838.5)     		tx = 77838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450115203857422 × 217)
    floor (0.450115203857422 × 131072)
    floor (58997.5)     		ty = 58997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77838 / 58997 ti = "17/77838/58997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77838/58997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77838 ÷ 217
    77838 ÷ 131072     		x = 0.593856811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58997 ÷ 217
    58997 ÷ 131072     		y = 0.450111389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593856811523438 × 2 - 1) × π
    0.187713623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58971974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450111389160156 × 2 - 1) × π
    0.0997772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.313459386615547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58971974} λ = 0.58971974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313459386615547))-π/2
    2×atan(1.36814989643571)-π/2
    2×0.939622532349275-π/2
    1.87924506469855-1.57079632675     		φ = 0.30844874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58971974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.788452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30844874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.672811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77838 KachelY 58997 0.58971974 0.30844874 33.788452 17.672811
    Oben rechts KachelX + 1 77839 KachelY 58997 0.58976768 0.30844874 33.791199 17.672811
    Unten links KachelX 77838 KachelY + 1 58998 0.58971974 0.30840306 33.788452 17.670194
    Unten rechts KachelX + 1 77839 KachelY + 1 58998 0.58976768 0.30840306 33.791199 17.670194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30844874-0.30840306) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dl = 291.027279999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30844874-0.30840306) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dr = 291.027279999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58971974-0.58976768) × cos(0.30844874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952805649105153 × 6371000     		do = 291.011370453931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58971974-0.58976768) × cos(0.30840306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95281951568899 × 6371000     		du = 291.01560566556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30844874)-sin(0.30840306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952805649105153-0.95281951568899)×R²
    abs(0.58976768-0.58971974)×1.38665838369523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38665838369523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38665838369523e-05×40589641000000     		ar = 84692.863888101m²