Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77837 / 57728
↖ ↑ ↗
← N 20.961440°
E 33.785705°		 ← 285.21 m → N 20.961440°
E 33.788452°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.958875°
E 33.785705°		 ← 285.22 m →
81 352 m²		 N 20.958875°
E 33.788452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593852996826172 y=0.440433502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593852996826172 × 217)
    floor (0.593852996826172 × 131072)
    floor (77837.5)     		tx = 77837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440433502197266 × 217)
    floor (0.440433502197266 × 131072)
    floor (57728.5)     		ty = 57728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77837 / 57728 ti = "17/77837/57728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77837/57728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77837 ÷ 217
    77837 ÷ 131072     		x = 0.593849182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57728 ÷ 217
    57728 ÷ 131072     		y = 0.4404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593849182128906 × 2 - 1) × π
    0.187698364257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58967180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58967180} λ = 0.58967180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374291312233398))-π/2
    2×atan(1.4539606452921)-π/2
    2×0.968321232004433-π/2
    1.93664246400887-1.57079632675     		φ = 0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58967180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.785705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77837 KachelY 57728 0.58967180 0.36584614 33.785705 20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 77838 KachelY 57728 0.58971974 0.36584614 33.788452 20.961440
    Unten links KachelX 77837 KachelY + 1 57729 0.58967180 0.36580137 33.785705 20.958875
    Unten rechts KachelX + 1 77838 KachelY + 1 57729 0.58971974 0.36580137 33.788452 20.958875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36584614-0.36580137) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dl = 285.22966999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36584614-0.36580137) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dr = 285.22966999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58967180-0.58971974) × cos(0.36584614) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 285.213091430114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58967180-0.58971974) × cos(0.36580137) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.933837412794911 × 6371000     		du = 285.217982843045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36584614)-sin(0.36580137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.933837412794911)×R²
    abs(0.58971974-0.58967180)×1.60150645143187e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.60150645143187e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.60150645143187e-05×40589641000000     		ar = 81351.9335498753m²