Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77837 / 57401
↖ ↑ ↗
← N 21.797758°
E 33.785705°		 ← 283.59 m → N 21.797758°
E 33.788452°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.795207°
E 33.785705°		 ← 283.59 m →
80 419 m²		 N 21.795207°
E 33.788452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593852996826172 y=0.437938690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593852996826172 × 217)
    floor (0.593852996826172 × 131072)
    floor (77837.5)     		tx = 77837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437938690185547 × 217)
    floor (0.437938690185547 × 131072)
    floor (57401.5)     		ty = 57401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77837 / 57401 ti = "17/77837/57401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77837/57401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77837 ÷ 217
    77837 ÷ 131072     		x = 0.593849182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57401 ÷ 217
    57401 ÷ 131072     		y = 0.437934875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593849182128906 × 2 - 1) × π
    0.187698364257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58967180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437934875488281 × 2 - 1) × π
    0.124130249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.389966678409157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58967180} λ = 0.58967180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389966678409157))-π/2
    2×atan(1.4769315793529)-π/2
    2×0.975619485595354-π/2
    1.95123897119071-1.57079632675     		φ = 0.38044264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58967180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.785705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38044264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.797758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77837 KachelY 57401 0.58967180 0.38044264 33.785705 21.797758
    Oben rechts KachelX + 1 77838 KachelY 57401 0.58971974 0.38044264 33.788452 21.797758
    Unten links KachelX 77837 KachelY + 1 57402 0.58967180 0.38039813 33.785705 21.795207
    Unten rechts KachelX + 1 77838 KachelY + 1 57402 0.58971974 0.38039813 33.788452 21.795207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38044264-0.38039813) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38044264-0.38039813) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58967180-0.58971974) × cos(0.38044264) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928500360368582 × 6371000     		do = 283.587909656312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58967180-0.58971974) × cos(0.38039813) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		du = 283.592957441319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38044264)-sin(0.38039813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928500360368582-0.928516887413772)×R²
    abs(0.58971974-0.58967180)×1.65270451892852e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65270451892852e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65270451892852e-05×40589641000000     		ar = 80418.6495799552m²