Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77833 / 57176
↖ ↑ ↗
← N 22.370396°
E 33.774719°		 ← 282.44 m → N 22.370396°
E 33.777466°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.367856°
E 33.774719°		 ← 282.45 m →
79 769 m²		 N 22.367856°
E 33.777466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593822479248047 y=0.436222076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593822479248047 × 217)
    floor (0.593822479248047 × 131072)
    floor (77833.5)     		tx = 77833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436222076416016 × 217)
    floor (0.436222076416016 × 131072)
    floor (57176.5)     		ty = 57176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77833 / 57176 ti = "17/77833/57176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77833/57176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77833 ÷ 217
    77833 ÷ 131072     		x = 0.593818664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57176 ÷ 217
    57176 ÷ 131072     		y = 0.43621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593818664550781 × 2 - 1) × π
    0.187637329101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58948005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    0.1275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.400752480823669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58948005} λ = 0.58948005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400752480823669))-π/2
    2×atan(1.49294768958048)-π/2
    2×0.980616698984396-π/2
    1.96123339796879-1.57079632675     		φ = 0.39043707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58948005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.774719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39043707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.370396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77833 KachelY 57176 0.58948005 0.39043707 33.774719 22.370396
    Oben rechts KachelX + 1 77834 KachelY 57176 0.58952799 0.39043707 33.777466 22.370396
    Unten links KachelX 77833 KachelY + 1 57177 0.58948005 0.39039274 33.774719 22.367856
    Unten rechts KachelX + 1 77834 KachelY + 1 57177 0.58952799 0.39039274 33.777466 22.367856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39043707-0.39039274) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39043707-0.39039274) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58948005-0.58952799) × cos(0.39043707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924742802569233 × 6371000     		do = 282.440254784197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58948005-0.58952799) × cos(0.39039274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924759673331833 × 6371000     		du = 282.445407549348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39043707)-sin(0.39039274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924742802569233-0.924759673331833)×R²
    abs(0.58952799-0.58948005)×1.68707626004849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68707626004849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68707626004849e-05×40589641000000     		ar = 79769.3204986085m²