Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77830 / 57405
↖ ↑ ↗
← N 21.787557°
E 33.766479°		 ← 283.61 m → N 21.787557°
E 33.769226°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.785006°
E 33.766479°		 ← 283.61 m →
80 424 m²		 N 21.785006°
E 33.769226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593799591064453 y=0.437969207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593799591064453 × 217)
    floor (0.593799591064453 × 131072)
    floor (77830.5)     		tx = 77830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437969207763672 × 217)
    floor (0.437969207763672 × 131072)
    floor (57405.5)     		ty = 57405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77830 / 57405 ti = "17/77830/57405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77830/57405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77830 ÷ 217
    77830 ÷ 131072     		x = 0.593795776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57405 ÷ 217
    57405 ÷ 131072     		y = 0.437965393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593795776367188 × 2 - 1) × π
    0.187591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58933624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437965393066406 × 2 - 1) × π
    0.124069213867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.389774930810677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58933624} λ = 0.58933624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389774930810677))-π/2
    2×atan(1.47664840841898)-π/2
    2×0.975530463569605-π/2
    1.95106092713921-1.57079632675     		φ = 0.38026460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58933624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.766479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38026460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.787557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77830 KachelY 57405 0.58933624 0.38026460 33.766479 21.787557
    Oben rechts KachelX + 1 77831 KachelY 57405 0.58938418 0.38026460 33.769226 21.787557
    Unten links KachelX 77830 KachelY + 1 57406 0.58933624 0.38022009 33.766479 21.785006
    Unten rechts KachelX + 1 77831 KachelY + 1 57406 0.58938418 0.38022009 33.769226 21.785006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38026460-0.38022009) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38026460-0.38022009) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58933624-0.58938418) × cos(0.38026460) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928566457512076 × 6371000     		do = 283.608097425275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58933624-0.58938418) × cos(0.38022009) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		du = 283.613142962873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38026460)-sin(0.38022009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928566457512076-0.928582977198981)×R²
    abs(0.58938418-0.58933624)×1.65196869046369e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65196869046369e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65196869046369e-05×40589641000000     		ar = 80424.3739717942m²