Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77829 / 57406
↖ ↑ ↗
← N 21.785006°
E 33.763733°		 ← 283.55 m → N 21.785006°
E 33.766479°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.782456°
E 33.763733°		 ← 283.56 m →
80 427 m²		 N 21.782456°
E 33.766479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593791961669922 y=0.437976837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593791961669922 × 217)
    floor (0.593791961669922 × 131072)
    floor (77829.5)     		tx = 77829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437976837158203 × 217)
    floor (0.437976837158203 × 131072)
    floor (57406.5)     		ty = 57406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77829 / 57406 ti = "17/77829/57406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77829/57406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77829 ÷ 217
    77829 ÷ 131072     		x = 0.593788146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57406 ÷ 217
    57406 ÷ 131072     		y = 0.437973022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593788146972656 × 2 - 1) × π
    0.187576293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58928831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437973022460938 × 2 - 1) × π
    0.124053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389726993911057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58928831} λ = 0.58928831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389726993911057))-π/2
    2×atan(1.47657762416906)-π/2
    2×0.975508207073084-π/2
    1.95101641414617-1.57079632675     		φ = 0.38022009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58928831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.763733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38022009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.785006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77829 KachelY 57406 0.58928831 0.38022009 33.763733 21.785006
    Oben rechts KachelX + 1 77830 KachelY 57406 0.58933624 0.38022009 33.766479 21.785006
    Unten links KachelX 77829 KachelY + 1 57407 0.58928831 0.38017557 33.763733 21.782456
    Unten rechts KachelX + 1 77830 KachelY + 1 57407 0.58933624 0.38017557 33.766479 21.782456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38022009-0.38017557) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38022009-0.38017557) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58928831-0.58933624) × cos(0.38022009) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		do = 283.553982940441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58928831-0.58933624) × cos(0.38017557) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.928599498757068 × 6371000     		du = 283.559027996957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38022009)-sin(0.38017557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928582977198981-0.928599498757068)×R²
    abs(0.58933624-0.58928831)×1.65215580868461e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.65215580868461e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.65215580868461e-05×40589641000000     		ar = 80427.0938703546m²