Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77821 / 57335
↖ ↑ ↗
← N 21.965972°
E 33.741760°		 ← 283.25 m → N 21.965972°
E 33.744507°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 21.963425°
E 33.741760°		 ← 283.26 m →
80 234 m²		 N 21.963425°
E 33.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593730926513672 y=0.437435150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593730926513672 × 217)
    floor (0.593730926513672 × 131072)
    floor (77821.5)     		tx = 77821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437435150146484 × 217)
    floor (0.437435150146484 × 131072)
    floor (57335.5)     		ty = 57335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77821 / 57335 ti = "17/77821/57335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77821/57335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77821 ÷ 217
    77821 ÷ 131072     		x = 0.593727111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57335 ÷ 217
    57335 ÷ 131072     		y = 0.437431335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593727111816406 × 2 - 1) × π
    0.187454223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58890481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437431335449219 × 2 - 1) × π
    0.125137329101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.393130513784081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58890481} λ = 0.58890481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393130513784081))-π/2
    2×atan(1.48161174746674)-π/2
    2×0.97708743216102-π/2
    1.95417486432204-1.57079632675     		φ = 0.38337854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58890481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.741760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38337854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.965972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77821 KachelY 57335 0.58890481 0.38337854 33.741760 21.965972
    Oben rechts KachelX + 1 77822 KachelY 57335 0.58895275 0.38337854 33.744507 21.965972
    Unten links KachelX 77821 KachelY + 1 57336 0.58890481 0.38333408 33.741760 21.963425
    Unten rechts KachelX + 1 77822 KachelY + 1 57336 0.58895275 0.38333408 33.744507 21.963425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38337854-0.38333408) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38337854-0.38333408) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58890481-0.58895275) × cos(0.38337854) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.927406168186531 × 6371000     		do = 283.253715199406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58890481-0.58895275) × cos(0.38333408) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.927422797794224 × 6371000     		du = 283.258794309641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38337854)-sin(0.38333408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927406168186531-0.927422797794224)×R²
    abs(0.58895275-0.58890481)×1.66296076933303e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.66296076933303e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.66296076933303e-05×40589641000000     		ar = 80233.6541465231m²