Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77820 / 57564
↖ ↑ ↗
← N 21.381475°
E 33.739013°		 ← 284.40 m → N 21.381475°
E 33.741760°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.378917°
E 33.739013°		 ← 284.41 m →
80 886 m²		 N 21.378917°
E 33.741760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593723297119141 y=0.439182281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593723297119141 × 217)
    floor (0.593723297119141 × 131072)
    floor (77820.5)     		tx = 77820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439182281494141 × 217)
    floor (0.439182281494141 × 131072)
    floor (57564.5)     		ty = 57564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77820 / 57564 ti = "17/77820/57564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77820/57564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77820 ÷ 217
    77820 ÷ 131072     		x = 0.593719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57564 ÷ 217
    57564 ÷ 131072     		y = 0.439178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593719482421875 × 2 - 1) × π
    0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382152963771088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58885687} λ = 0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382152963771088))-π/2
    2×atan(1.46543622664127)-π/2
    2×0.971986731434478-π/2
    1.94397346286896-1.57079632675     		φ = 0.37317714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37317714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.381475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77820 KachelY 57564 0.58885687 0.37317714 33.739013 21.381475
    Oben rechts KachelX + 1 77821 KachelY 57564 0.58890481 0.37317714 33.741760 21.381475
    Unten links KachelX 77820 KachelY + 1 57565 0.58885687 0.37313250 33.739013 21.378917
    Unten rechts KachelX + 1 77821 KachelY + 1 57565 0.58890481 0.37313250 33.741760 21.378917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37317714-0.37313250) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dl = 284.401440000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37317714-0.37313250) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dr = 284.401440000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58885687-0.58890481) × cos(0.37317714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931173739131351 × 6371000     		do = 284.404428342573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58885687-0.58890481) × cos(0.37313250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931190012864428 × 6371000     		du = 284.409398759541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37317714)-sin(0.37313250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931173739131351-0.931190012864428)×R²
    abs(0.58890481-0.58885687)×1.62737330775542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62737330775542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62737330775542e-05×40589641000000     		ar = 80885.7357733963m²