Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7782 / 4886
↖ ↑ ↗
← N 58.562523°
W  9.008789°		 ← 1 274.30 m → N 58.562523°
W  8.986817°		 →
↑
1 274.52 m
↓
↑
1 274.52 m
↓
N 58.551061°
W  9.008789°		 ← 1 274.72 m →
1 624 388 m²		 N 58.551061°
W  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475006103515625 y=0.298248291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475006103515625 × 214)
    floor (0.475006103515625 × 16384)
    floor (7782.5)     		tx = 7782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298248291015625 × 214)
    floor (0.298248291015625 × 16384)
    floor (4886.5)     		ty = 4886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7782 / 4886 ti = "14/7782/4886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7782/4886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7782 ÷ 214
    7782 ÷ 16384     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4886 ÷ 214
    4886 ÷ 16384     		y = 0.2982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2982177734375 × 2 - 1) × π
    0.403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26783512115125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26783512115125))-π/2
    2×atan(3.55315208626613)-π/2
    2×1.29645258333149-π/2
    2.59290516666299-1.57079632675     		φ = 1.02210884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02210884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.562523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7782 KachelY 4886 -0.15723303 1.02210884 -9.008789 58.562523
    Oben rechts KachelX + 1 7783 KachelY 4886 -0.15684954 1.02210884 -8.986817 58.562523
    Unten links KachelX 7782 KachelY + 1 4887 -0.15723303 1.02190879 -9.008789 58.551061
    Unten rechts KachelX + 1 7783 KachelY + 1 4887 -0.15684954 1.02190879 -8.986817 58.551061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02210884-1.02190879) × R
    0.000200050000000118 × 6371000     		dl = 1274.51855000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02210884-1.02190879) × R
    0.000200050000000118 × 6371000     		dr = 1274.51855000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15684954) × cos(1.02210884) × R
    0.000383489999999986 × 0.521567829344844 × 6371000     		do = 1274.30223464347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15684954) × cos(1.02190879) × R
    0.000383489999999986 × 0.52173850353191 × 6371000     		du = 1274.71922834159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02210884)-sin(1.02190879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521567829344844-0.52173850353191)×R²
    abs(-0.15684954--0.15723303)×0.000170674187066733×R²
    0.000383489999999986×0.000170674187066733×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170674187066733×40589641000000     		ar = 1624387.57487902m²