Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7782 / 1688
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E161.982422°		 ← 1 504.01 m → N 72.073911°
E162.026367°		 →
↑
1 504.58 m
↓
↑
1 504.58 m
↓
N 72.060381°
E161.982422°		 ← 1 505.11 m →
2 263 727 m²		 N 72.060381°
E162.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95001220703125 y=0.20611572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95001220703125 × 213)
    floor (0.95001220703125 × 8192)
    floor (7782.5)     		tx = 7782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20611572265625 × 213)
    floor (0.20611572265625 × 8192)
    floor (1688.5)     		ty = 1688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7782 / 1688 ti = "13/7782/1688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7782/1688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7782 ÷ 213
    7782 ÷ 8192     		x = 0.949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1688 ÷ 213
    1688 ÷ 8192     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949951171875 × 2 - 1) × π
    0.89990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82712659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82712659} λ = 2.82712659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82712659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7782 KachelY 1688 2.82712659 1.25792706 161.982422 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 7783 KachelY 1688 2.82789358 1.25792706 162.026367 72.073911
    Unten links KachelX 7782 KachelY + 1 1689 2.82712659 1.25769090 161.982422 72.060381
    Unten rechts KachelX + 1 7783 KachelY + 1 1689 2.82789358 1.25769090 162.026367 72.060381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25769090) × R
    0.000236160000000041 × 6371000     		dl = 1504.57536000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25769090) × R
    0.000236160000000041 × 6371000     		dr = 1504.57536000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82712659-2.82789358) × cos(1.25792706) × R
    0.000766989999999801 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 1504.01316408624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82712659-2.82789358) × cos(1.25769090) × R
    0.000766989999999801 × 0.308014562933598 × 6371000     		du = 1505.11109499692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25769090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.308014562933598)×R²
    abs(2.82789358-2.82712659)×0.000224686875745894×R²
    0.000766989999999801×0.000224686875745894×6371000²
    0.000766989999999801×0.000224686875745894×40589641000000     		ar = 2263727.11821909m²