Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7782 / 10698
↖ ↑ ↗
← N 76.255650°
W137.252197°		 ← 145.13 m → N 76.255650°
W137.246704°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
N 76.254344°
W137.252197°		 ← 145.15 m →
21 064 m²		 N 76.254344°
W137.246704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118751525878906 y=0.163246154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118751525878906 × 216)
    floor (0.118751525878906 × 65536)
    floor (7782.5)     		tx = 7782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163246154785156 × 216)
    floor (0.163246154785156 × 65536)
    floor (10698.5)     		ty = 10698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7782 / 10698 ti = "16/7782/10698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7782/10698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7782 ÷ 216
    7782 ÷ 65536     		x = 0.118743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10698 ÷ 216
    10698 ÷ 65536     		y = 0.163238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39550275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163238525390625 × 2 - 1) × π
    0.67352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11593474922928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39550275} λ = -2.39550275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11593474922928))-π/2
    2×atan(8.29733807269197)-π/2
    2×1.45085424200112-π/2
    2.90170848400224-1.57079632675     		φ = 1.33091216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39550275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.252197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33091216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.255650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7782 KachelY 10698 -2.39550275 1.33091216 -137.252197 76.255650
    Oben rechts KachelX + 1 7783 KachelY 10698 -2.39540687 1.33091216 -137.246704 76.255650
    Unten links KachelX 7782 KachelY + 1 10699 -2.39550275 1.33088938 -137.252197 76.254344
    Unten rechts KachelX + 1 7783 KachelY + 1 10699 -2.39540687 1.33088938 -137.246704 76.254344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33091216-1.33088938) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dl = 145.131380000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33091216-1.33088938) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dr = 145.131380000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39550275--2.39540687) × cos(1.33091216) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237590111641853 × 6371000     		do = 145.132271329696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39550275--2.39540687) × cos(1.33088938) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237612239286345 × 6371000     		du = 145.145788034083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33091216)-sin(1.33088938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237590111641853-0.237612239286345)×R²
    abs(-2.39540687--2.39550275)×2.2127644492026e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.2127644492026e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.2127644492026e-05×40589641000000     		ar = 21064.2276707648m²