Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77816 / 57207
↖ ↑ ↗
← N 22.291637°
E 33.728027°		 ← 282.54 m → N 22.291637°
E 33.730774°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.289096°
E 33.728027°		 ← 282.55 m →
79 834 m²		 N 22.289096°
E 33.730774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593692779541016 y=0.436458587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593692779541016 × 217)
    floor (0.593692779541016 × 131072)
    floor (77816.5)     		tx = 77816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436458587646484 × 217)
    floor (0.436458587646484 × 131072)
    floor (57207.5)     		ty = 57207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77816 / 57207 ti = "17/77816/57207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77816/57207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77816 ÷ 217
    77816 ÷ 131072     		x = 0.59368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57207 ÷ 217
    57207 ÷ 131072     		y = 0.436454772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436454772949219 × 2 - 1) × π
    0.127090454101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.399266436935448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58866513} λ = 0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399266436935448))-π/2
    2×atan(1.49073075143262)-π/2
    2×0.979929400664251-π/2
    1.9598588013285-1.57079632675     		φ = 0.38906247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38906247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.291637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77816 KachelY 57207 0.58866513 0.38906247 33.728027 22.291637
    Oben rechts KachelX + 1 77817 KachelY 57207 0.58871306 0.38906247 33.730774 22.291637
    Unten links KachelX 77816 KachelY + 1 57208 0.58866513 0.38901812 33.728027 22.289096
    Unten rechts KachelX + 1 77817 KachelY + 1 57208 0.58871306 0.38901812 33.730774 22.289096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38906247-0.38901812) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dl = 282.553849999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38906247-0.38901812) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dr = 282.553849999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58866513-0.58871306) × cos(0.38906247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925265091369767 × 6371000     		do = 282.540826588981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58866513-0.58871306) × cos(0.38901812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92528191335139 × 6371000     		du = 282.545963383438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38906247)-sin(0.38901812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925265091369767-0.92528191335139)×R²
    abs(0.58871306-0.58866513)×1.68219816231163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68219816231163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68219816231163e-05×40589641000000     		ar = 79833.7240584613m²