Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77815 / 57559
↖ ↑ ↗
← N 21.394262°
E 33.725281°		 ← 284.38 m → N 21.394262°
E 33.728027°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.391705°
E 33.725281°		 ← 284.38 m →
80 861 m²		 N 21.391705°
E 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593685150146484 y=0.439144134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593685150146484 × 217)
    floor (0.593685150146484 × 131072)
    floor (77815.5)     		tx = 77815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439144134521484 × 217)
    floor (0.439144134521484 × 131072)
    floor (57559.5)     		ty = 57559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77815 / 57559 ti = "17/77815/57559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77815/57559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77815 ÷ 217
    77815 ÷ 131072     		x = 0.593681335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57559 ÷ 217
    57559 ÷ 131072     		y = 0.439140319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593681335449219 × 2 - 1) × π
    0.187362670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58861719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439140319824219 × 2 - 1) × π
    0.121719360351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.382392648269188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58861719} λ = 0.58861719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382392648269188))-π/2
    2×atan(1.46578751108479)-π/2
    2×0.972098320513304-π/2
    1.94419664102661-1.57079632675     		φ = 0.37340031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58861719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.725281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37340031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.394262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77815 KachelY 57559 0.58861719 0.37340031 33.725281 21.394262
    Oben rechts KachelX + 1 77816 KachelY 57559 0.58866513 0.37340031 33.728027 21.394262
    Unten links KachelX 77815 KachelY + 1 57560 0.58861719 0.37335568 33.725281 21.391705
    Unten rechts KachelX + 1 77816 KachelY + 1 57560 0.58866513 0.37335568 33.728027 21.391705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37340031-0.37335568) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37340031-0.37335568) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58861719-0.58866513) × cos(0.37340031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931092353576456 × 6371000     		do = 284.379571099244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58861719-0.58866513) × cos(0.37335568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93110863293843 × 6371000     		du = 284.384543235422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37340031)-sin(0.37335568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931092353576456-0.93110863293843)×R²
    abs(0.58866513-0.58861719)×1.62793619739032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62793619739032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62793619739032e-05×40589641000000     		ar = 80860.5486010689m²