Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77813 / 57391
↖ ↑ ↗
← N 21.823258°
E 33.719788°		 ← 283.48 m → N 21.823258°
E 33.722534°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.820708°
E 33.719788°		 ← 283.48 m →
80 369 m²		 N 21.820708°
E 33.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593669891357422 y=0.437862396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593669891357422 × 217)
    floor (0.593669891357422 × 131072)
    floor (77813.5)     		tx = 77813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437862396240234 × 217)
    floor (0.437862396240234 × 131072)
    floor (57391.5)     		ty = 57391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77813 / 57391 ti = "17/77813/57391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77813/57391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77813 ÷ 217
    77813 ÷ 131072     		x = 0.593666076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57391 ÷ 217
    57391 ÷ 131072     		y = 0.437858581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593666076660156 × 2 - 1) × π
    0.187332153320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58852132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437858581542969 × 2 - 1) × π
    0.124282836914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.390446047405357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58852132} λ = 0.58852132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390446047405357))-π/2
    2×atan(1.47763974428415)-π/2
    2×0.975842012924422-π/2
    1.95168402584884-1.57079632675     		φ = 0.38088770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58852132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.719788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38088770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.823258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77813 KachelY 57391 0.58852132 0.38088770 33.719788 21.823258
    Oben rechts KachelX + 1 77814 KachelY 57391 0.58856925 0.38088770 33.722534 21.823258
    Unten links KachelX 77813 KachelY + 1 57392 0.58852132 0.38084320 33.719788 21.820708
    Unten rechts KachelX + 1 77814 KachelY + 1 57392 0.58856925 0.38084320 33.722534 21.820708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38088770-0.38084320) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38088770-0.38084320) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58852132-0.58856925) × cos(0.38088770) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928335003619972 × 6371000     		do = 283.478261225625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58852132-0.58856925) × cos(0.38084320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928351545339893 × 6371000     		du = 283.4833124388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38088770)-sin(0.38084320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928335003619972-0.928351545339893)×R²
    abs(0.58856925-0.58852132)×1.65417199214923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65417199214923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65417199214923e-05×40589641000000     		ar = 80369.4961476353m²