Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77812 / 57204
↖ ↑ ↗
← N 22.299261°
E 33.717041°		 ← 282.58 m → N 22.299261°
E 33.719788°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.296720°
E 33.717041°		 ← 282.59 m →
79 846 m²		 N 22.296720°
E 33.719788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593662261962891 y=0.436435699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593662261962891 × 217)
    floor (0.593662261962891 × 131072)
    floor (77812.5)     		tx = 77812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436435699462891 × 217)
    floor (0.436435699462891 × 131072)
    floor (57204.5)     		ty = 57204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77812 / 57204 ti = "17/77812/57204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77812/57204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77812 ÷ 217
    77812 ÷ 131072     		x = 0.593658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57204 ÷ 217
    57204 ÷ 131072     		y = 0.436431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593658447265625 × 2 - 1) × π
    0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436431884765625 × 2 - 1) × π
    0.12713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.399410247634308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58847338} λ = 0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399410247634308))-π/2
    2×atan(1.49094514987982)-π/2
    2×0.979995930359014-π/2
    1.95999186071803-1.57079632675     		φ = 0.38919553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38919553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.299261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77812 KachelY 57204 0.58847338 0.38919553 33.717041 22.299261
    Oben rechts KachelX + 1 77813 KachelY 57204 0.58852132 0.38919553 33.719788 22.299261
    Unten links KachelX 77812 KachelY + 1 57205 0.58847338 0.38915118 33.717041 22.296720
    Unten rechts KachelX + 1 77813 KachelY + 1 57205 0.58852132 0.38915118 33.719788 22.296720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38919553-0.38915118) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38919553-0.38915118) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58847338-0.58852132) × cos(0.38919553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925214610711039 × 6371000     		do = 282.584357135046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58847338-0.58852132) × cos(0.38915118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925231438152748 × 6371000     		du = 282.589496668882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38919553)-sin(0.38915118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925214610711039-0.925231438152748)×R²
    abs(0.58852132-0.58847338)×1.68274417083891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68274417083891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68274417083891e-05×40589641000000     		ar = 79846.024169005m²