Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77811 / 57265
↖ ↑ ↗
← N 22.144164°
E 33.714294°		 ← 282.90 m → N 22.144164°
E 33.717041°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.141620°
E 33.714294°		 ← 282.90 m →
80 024 m²		 N 22.141620°
E 33.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593654632568359 y=0.436901092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593654632568359 × 217)
    floor (0.593654632568359 × 131072)
    floor (77811.5)     		tx = 77811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436901092529297 × 217)
    floor (0.436901092529297 × 131072)
    floor (57265.5)     		ty = 57265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77811 / 57265 ti = "17/77811/57265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77811/57265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77811 ÷ 217
    77811 ÷ 131072     		x = 0.593650817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57265 ÷ 217
    57265 ÷ 131072     		y = 0.436897277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593650817871094 × 2 - 1) × π
    0.187301635742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58842544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436897277832031 × 2 - 1) × π
    0.126205444335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.396486096757484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58842544} λ = 0.58842544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396486096757484))-π/2
    2×atan(1.48659176938522)-π/2
    2×0.978642447714255-π/2
    1.95728489542851-1.57079632675     		φ = 0.38648857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58842544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.714294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38648857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.144164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77811 KachelY 57265 0.58842544 0.38648857 33.714294 22.144164
    Oben rechts KachelX + 1 77812 KachelY 57265 0.58847338 0.38648857 33.717041 22.144164
    Unten links KachelX 77811 KachelY + 1 57266 0.58842544 0.38644417 33.714294 22.141620
    Unten rechts KachelX + 1 77812 KachelY + 1 57266 0.58847338 0.38644417 33.717041 22.141620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38648857-0.38644417) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38648857-0.38644417) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58842544-0.58847338) × cos(0.38648857) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926238359996827 × 6371000     		do = 282.897036518887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58842544-0.58847338) × cos(0.38644417) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926255095145454 × 6371000     		du = 282.902147864041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38648857)-sin(0.38644417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926238359996827-0.926255095145454)×R²
    abs(0.58847338-0.58842544)×1.67351486272116e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.67351486272116e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.67351486272116e-05×40589641000000     		ar = 80024.4866153433m²