Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77810 / 57567
↖ ↑ ↗
← N 21.373802°
E 33.711548°		 ← 284.36 m → N 21.373802°
E 33.714294°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.371244°
E 33.711548°		 ← 284.36 m →
80 873 m²		 N 21.371244°
E 33.714294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593647003173828 y=0.439205169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593647003173828 × 217)
    floor (0.593647003173828 × 131072)
    floor (77810.5)     		tx = 77810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439205169677734 × 217)
    floor (0.439205169677734 × 131072)
    floor (57567.5)     		ty = 57567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77810 / 57567 ti = "17/77810/57567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77810/57567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77810 ÷ 217
    77810 ÷ 131072     		x = 0.593643188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57567 ÷ 217
    57567 ÷ 131072     		y = 0.439201354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593643188476562 × 2 - 1) × π
    0.187286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58837751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439201354980469 × 2 - 1) × π
    0.121597290039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.382009153072227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58837751} λ = 0.58837751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382009153072227))-π/2
    2×atan(1.46522549638638)-π/2
    2×0.971919773306195-π/2
    1.94383954661239-1.57079632675     		φ = 0.37304322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58837751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37304322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.373802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77810 KachelY 57567 0.58837751 0.37304322 33.711548 21.373802
    Oben rechts KachelX + 1 77811 KachelY 57567 0.58842544 0.37304322 33.714294 21.373802
    Unten links KachelX 77810 KachelY + 1 57568 0.58837751 0.37299858 33.711548 21.371244
    Unten rechts KachelX + 1 77811 KachelY + 1 57568 0.58842544 0.37299858 33.714294 21.371244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37304322-0.37299858) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dl = 284.401439999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37304322-0.37299858) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dr = 284.401439999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58837751-0.58842544) × cos(0.37304322) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.931222554763721 × 6371000     		do = 284.360009703952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58837751-0.58842544) × cos(0.37299858) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.931238822929872 × 6371000     		du = 284.364977384192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37304322)-sin(0.37299858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931222554763721-0.931238822929872)×R²
    abs(0.58842544-0.58837751)×1.62681661505237e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.62681661505237e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.62681661505237e-05×40589641000000     		ar = 80873.102659249m²