Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77810 / 57169
↖ ↑ ↗
← N 22.388175°
E 33.711548°		 ← 282.35 m → N 22.388175°
E 33.714294°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.385635°
E 33.711548°		 ← 282.35 m →
79 742 m²		 N 22.385635°
E 33.714294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593647003173828 y=0.436168670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593647003173828 × 217)
    floor (0.593647003173828 × 131072)
    floor (77810.5)     		tx = 77810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436168670654297 × 217)
    floor (0.436168670654297 × 131072)
    floor (57169.5)     		ty = 57169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77810 / 57169 ti = "17/77810/57169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77810/57169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77810 ÷ 217
    77810 ÷ 131072     		x = 0.593643188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57169 ÷ 217
    57169 ÷ 131072     		y = 0.436164855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593643188476562 × 2 - 1) × π
    0.187286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58837751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436164855957031 × 2 - 1) × π
    0.127670288085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.40108803912101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58837751} λ = 0.58837751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40108803912101))-π/2
    2×atan(1.4934487446271)-π/2
    2×0.980771841635062-π/2
    1.96154368327012-1.57079632675     		φ = 0.39074736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58837751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39074736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.388175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77810 KachelY 57169 0.58837751 0.39074736 33.711548 22.388175
    Oben rechts KachelX + 1 77811 KachelY 57169 0.58842544 0.39074736 33.714294 22.388175
    Unten links KachelX 77810 KachelY + 1 57170 0.58837751 0.39070303 33.711548 22.385635
    Unten rechts KachelX + 1 77811 KachelY + 1 57170 0.58842544 0.39070303 33.714294 22.385635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39074736-0.39070303) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39074736-0.39070303) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58837751-0.58842544) × cos(0.39074736) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.924624663967273 × 6371000     		do = 282.345264376633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58837751-0.58842544) × cos(0.39070303) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.924641547449158 × 6371000     		du = 282.350419950935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39074736)-sin(0.39070303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924624663967273-0.924641547449158)×R²
    abs(0.58842544-0.58837751)×1.68834818854435e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.68834818854435e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.68834818854435e-05×40589641000000     		ar = 79742.4930935574m²