Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7781 / 4384
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W  9.030762°		 ← 1 076.42 m → N 63.860036°
W  9.008789°		 →
↑
1 076.64 m
↓
↑
1 076.64 m
↓
N 63.850354°
W  9.030762°		 ← 1 076.79 m →
1 159 116 m²		 N 63.850354°
W  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474945068359375 y=0.267608642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474945068359375 × 214)
    floor (0.474945068359375 × 16384)
    floor (7781.5)     		tx = 7781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267608642578125 × 214)
    floor (0.267608642578125 × 16384)
    floor (4384.5)     		ty = 4384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7781 / 4384 ti = "14/7781/4384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7781/4384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7781 ÷ 214
    7781 ÷ 16384     		x = 0.47491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4384 ÷ 214
    4384 ÷ 16384     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15761653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15761653} λ = -0.15761653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15761653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7781 KachelY 4384 -0.15761653 1.11456789 -9.030762 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 7782 KachelY 4384 -0.15723303 1.11456789 -9.008789 63.860036
    Unten links KachelX 7781 KachelY + 1 4385 -0.15761653 1.11439890 -9.030762 63.850354
    Unten rechts KachelX + 1 7782 KachelY + 1 4385 -0.15723303 1.11439890 -9.008789 63.850354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.11439890) × R
    0.000168989999999924 × 6371000     		dl = 1076.63528999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.11439890) × R
    0.000168989999999924 × 6371000     		dr = 1076.63528999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15761653--0.15723303) × cos(1.11456789) × R
    0.000383500000000009 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 1076.42406456079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15761653--0.15723303) × cos(1.11439890) × R
    0.000383500000000009 × 0.440717138335602 × 6371000     		du = 1076.79470867693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.11439890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.440717138335602)×R²
    abs(-0.15723303--0.15761653)×0.000151699495632485×R²
    0.000383500000000009×0.000151699495632485×6371000²
    0.000383500000000009×0.000151699495632485×40589641000000     		ar = 1159115.6619375m²