Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7781 / 10699
↖ ↑ ↗
← N 76.254344°
W137.257690°		 ← 145.13 m → N 76.254344°
W137.252197°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
N 76.253039°
W137.257690°		 ← 145.14 m →
21 064 m²		 N 76.253039°
W137.252197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118736267089844 y=0.163261413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118736267089844 × 216)
    floor (0.118736267089844 × 65536)
    floor (7781.5)     		tx = 7781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163261413574219 × 216)
    floor (0.163261413574219 × 65536)
    floor (10699.5)     		ty = 10699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7781 / 10699 ti = "16/7781/10699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7781/10699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7781 ÷ 216
    7781 ÷ 65536     		x = 0.118728637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10699 ÷ 216
    10699 ÷ 65536     		y = 0.163253784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.762542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39559862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163253784179688 × 2 - 1) × π
    0.673492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11583887543004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39559862} λ = -2.39559862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11583887543004))-π/2
    2×atan(8.29654261349982)-π/2
    2×1.45084285213731-π/2
    2.90168570427462-1.57079632675     		φ = 1.33088938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39559862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.257690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33088938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.254344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7781 KachelY 10699 -2.39559862 1.33088938 -137.257690 76.254344
    Oben rechts KachelX + 1 7782 KachelY 10699 -2.39550275 1.33088938 -137.252197 76.254344
    Unten links KachelX 7781 KachelY + 1 10700 -2.39559862 1.33086660 -137.257690 76.253039
    Unten rechts KachelX + 1 7782 KachelY + 1 10700 -2.39550275 1.33086660 -137.252197 76.253039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33088938-1.33086660) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dl = 145.131379999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33088938-1.33086660) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dr = 145.131379999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39559862--2.39550275) × cos(1.33088938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237612239286345 × 6371000     		do = 145.13064975841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39559862--2.39550275) × cos(1.33086660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237634366807533 × 6371000     		du = 145.144164977732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33088938)-sin(1.33086660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237612239286345-0.237634366807533)×R²
    abs(-2.39550275--2.39559862)×2.21275211880478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21275211880478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21275211880478e-05×40589641000000     		ar = 21063.9922217171m²