Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77809 / 57642
↖ ↑ ↗
← N 21.181851°
E 33.708801°		 ← 284.79 m → N 21.181851°
E 33.711548°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.179290°
E 33.708801°		 ← 284.80 m →
81 104 m²		 N 21.179290°
E 33.711548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593639373779297 y=0.439777374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593639373779297 × 217)
    floor (0.593639373779297 × 131072)
    floor (77809.5)     		tx = 77809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439777374267578 × 217)
    floor (0.439777374267578 × 131072)
    floor (57642.5)     		ty = 57642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77809 / 57642 ti = "17/77809/57642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77809/57642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77809 ÷ 217
    77809 ÷ 131072     		x = 0.593635559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57642 ÷ 217
    57642 ÷ 131072     		y = 0.439773559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593635559082031 × 2 - 1) × π
    0.187271118164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58832957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439773559570312 × 2 - 1) × π
    0.120452880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.378413885600723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58832957} λ = 0.58832957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378413885600723))-π/2
    2×atan(1.45996707719671)-π/2
    2×0.970244682161119-π/2
    1.94048936432224-1.57079632675     		φ = 0.36969304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58832957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.708801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36969304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.181851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77809 KachelY 57642 0.58832957 0.36969304 33.708801 21.181851
    Oben rechts KachelX + 1 77810 KachelY 57642 0.58837751 0.36969304 33.711548 21.181851
    Unten links KachelX 77809 KachelY + 1 57643 0.58832957 0.36964834 33.708801 21.179290
    Unten rechts KachelX + 1 77810 KachelY + 1 57643 0.58837751 0.36964834 33.711548 21.179290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36969304-0.36964834) × R
    4.46999999999531e-05 × 6371000     		dl = 284.783699999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36969304-0.36964834) × R
    4.46999999999531e-05 × 6371000     		dr = 284.783699999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58832957-0.58837751) × cos(0.36969304) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.932438303153276 × 6371000     		do = 284.790658745406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58832957-0.58837751) × cos(0.36964834) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.932454453638202 × 6371000     		du = 284.795591519216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36969304)-sin(0.36964834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932438303153276-0.932454453638202)×R²
    abs(0.58837751-0.58832957)×1.61504849263139e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.61504849263139e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.61504849263139e-05×40589641000000     		ar = 81104.4399231648m²