Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77807 / 57167
↖ ↑ ↗
← N 22.393253°
E 33.703308°		 ← 282.33 m → N 22.393253°
E 33.706055°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.390714°
E 33.703308°		 ← 282.34 m →
79 722 m²		 N 22.390714°
E 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593624114990234 y=0.436153411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593624114990234 × 217)
    floor (0.593624114990234 × 131072)
    floor (77807.5)     		tx = 77807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436153411865234 × 217)
    floor (0.436153411865234 × 131072)
    floor (57167.5)     		ty = 57167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77807 / 57167 ti = "17/77807/57167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77807/57167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77807 ÷ 217
    77807 ÷ 131072     		x = 0.593620300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57167 ÷ 217
    57167 ÷ 131072     		y = 0.436149597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593620300292969 × 2 - 1) × π
    0.187240600585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58823370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436149597167969 × 2 - 1) × π
    0.127700805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.40118391292025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58823370} λ = 0.58823370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40118391292025))-π/2
    2×atan(1.49359193409617)-π/2
    2×0.980816164465512-π/2
    1.96163232893102-1.57079632675     		φ = 0.39083600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58823370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.703308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39083600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.393253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77807 KachelY 57167 0.58823370 0.39083600 33.703308 22.393253
    Oben rechts KachelX + 1 77808 KachelY 57167 0.58828163 0.39083600 33.706055 22.393253
    Unten links KachelX 77807 KachelY + 1 57168 0.58823370 0.39079168 33.703308 22.390714
    Unten rechts KachelX + 1 77808 KachelY + 1 57168 0.58828163 0.39079168 33.706055 22.390714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39083600-0.39079168) × R
    4.43200000000421e-05 × 6371000     		dl = 282.362720000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39083600-0.39079168) × R
    4.43200000000421e-05 × 6371000     		dr = 282.362720000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58823370-0.58828163) × cos(0.39083600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92459089917169 × 6371000     		do = 282.334953890766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58823370-0.58828163) × cos(0.39079168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924607782477568 × 6371000     		du = 282.340109411321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39083600)-sin(0.39079168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92459089917169-0.924607782477568)×R²
    abs(0.58828163-0.58823370)×1.68833058774576e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68833058774576e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68833058774576e-05×40589641000000     		ar = 79721.593408298m²