Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77805 / 57412
↖ ↑ ↗
← N 21.769703°
E 33.697815°		 ← 283.64 m → N 21.769703°
E 33.700562°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.767152°
E 33.697815°		 ← 283.65 m →
80 452 m²		 N 21.767152°
E 33.700562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593608856201172 y=0.438022613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593608856201172 × 217)
    floor (0.593608856201172 × 131072)
    floor (77805.5)     		tx = 77805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438022613525391 × 217)
    floor (0.438022613525391 × 131072)
    floor (57412.5)     		ty = 57412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77805 / 57412 ti = "17/77805/57412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77805/57412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77805 ÷ 217
    77805 ÷ 131072     		x = 0.593605041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57412 ÷ 217
    57412 ÷ 131072     		y = 0.438018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593605041503906 × 2 - 1) × π
    0.187210083007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58813782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438018798828125 × 2 - 1) × π
    0.12396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389439372513336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58813782} λ = 0.58813782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389439372513336))-π/2
    2×atan(1.47615298991883)-π/2
    2×0.975374659780107-π/2
    1.95074931956021-1.57079632675     		φ = 0.37995299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58813782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.697815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37995299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.769703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77805 KachelY 57412 0.58813782 0.37995299 33.697815 21.769703
    Oben rechts KachelX + 1 77806 KachelY 57412 0.58818576 0.37995299 33.700562 21.769703
    Unten links KachelX 77805 KachelY + 1 57413 0.58813782 0.37990847 33.697815 21.767152
    Unten rechts KachelX + 1 77806 KachelY + 1 57413 0.58818576 0.37990847 33.700562 21.767152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37995299-0.37990847) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37995299-0.37990847) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58813782-0.58818576) × cos(0.37995299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928682071521624 × 6371000     		do = 283.643408919039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58813782-0.58818576) × cos(0.37990847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928698582036972 × 6371000     		du = 283.648451655407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37995299)-sin(0.37990847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928682071521624-0.928698582036972)×R²
    abs(0.58818576-0.58813782)×1.65105153481226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65105153481226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65105153481226e-05×40589641000000     		ar = 80452.4580505786m²