Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77803 / 57415
↖ ↑ ↗
← N 21.762050°
E 33.692322°		 ← 283.60 m → N 21.762050°
E 33.695068°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.759500°
E 33.692322°		 ← 283.60 m →
80 440 m²		 N 21.759500°
E 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593593597412109 y=0.438045501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593593597412109 × 217)
    floor (0.593593597412109 × 131072)
    floor (77803.5)     		tx = 77803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438045501708984 × 217)
    floor (0.438045501708984 × 131072)
    floor (57415.5)     		ty = 57415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77803 / 57415 ti = "17/77803/57415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77803/57415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77803 ÷ 217
    77803 ÷ 131072     		x = 0.593589782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57415 ÷ 217
    57415 ÷ 131072     		y = 0.438041687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593589782714844 × 2 - 1) × π
    0.187179565429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58804195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438041687011719 × 2 - 1) × π
    0.123916625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.389295561814476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58804195} λ = 0.58804195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389295561814476))-π/2
    2×atan(1.47594071858953)-π/2
    2×0.975307880790669-π/2
    1.95061576158134-1.57079632675     		φ = 0.37981943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58804195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.692322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37981943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.762050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77803 KachelY 57415 0.58804195 0.37981943 33.692322 21.762050
    Oben rechts KachelX + 1 77804 KachelY 57415 0.58808988 0.37981943 33.695068 21.762050
    Unten links KachelX 77803 KachelY + 1 57416 0.58804195 0.37977491 33.692322 21.759500
    Unten rechts KachelX + 1 77804 KachelY + 1 57416 0.58808988 0.37977491 33.695068 21.759500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37981943-0.37977491) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37981943-0.37977491) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58804195-0.58808988) × cos(0.37981943) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.928731597545509 × 6371000     		do = 283.599365951156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58804195-0.58808988) × cos(0.37977491) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		du = 283.604405949362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37981943)-sin(0.37977491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928731597545509-0.928748102538633)×R²
    abs(0.58808988-0.58804195)×1.65049931234451e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.65049931234451e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.65049931234451e-05×40589641000000     		ar = 80439.9654503514m²