Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77802 / 59114
↖ ↑ ↗
← N 17.366367°
E 33.689575°		 ← 291.50 m → N 17.366367°
E 33.692322°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
N 17.363746°
E 33.689575°		 ← 291.51 m →
84 966 m²		 N 17.363746°
E 33.692322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593585968017578 y=0.451007843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593585968017578 × 217)
    floor (0.593585968017578 × 131072)
    floor (77802.5)     		tx = 77802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451007843017578 × 217)
    floor (0.451007843017578 × 131072)
    floor (59114.5)     		ty = 59114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77802 / 59114 ti = "17/77802/59114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77802/59114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77802 ÷ 217
    77802 ÷ 131072     		x = 0.593582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59114 ÷ 217
    59114 ÷ 131072     		y = 0.451004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593582153320312 × 2 - 1) × π
    0.187164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58799401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451004028320312 × 2 - 1) × π
    0.097991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.307850769360001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58799401} λ = 0.58799401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.307850769360001))-π/2
    2×atan(1.36049794580823)-π/2
    2×0.936948307964805-π/2
    1.87389661592961-1.57079632675     		φ = 0.30310029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58799401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.689575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30310029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.366367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77802 KachelY 59114 0.58799401 0.30310029 33.689575 17.366367
    Oben rechts KachelX + 1 77803 KachelY 59114 0.58804195 0.30310029 33.692322 17.366367
    Unten links KachelX 77802 KachelY + 1 59115 0.58799401 0.30305454 33.689575 17.363746
    Unten rechts KachelX + 1 77803 KachelY + 1 59115 0.58804195 0.30305454 33.692322 17.363746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30310029-0.30305454) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dl = 291.47325000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30310029-0.30305454) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dr = 291.47325000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58799401-0.58804195) × cos(0.30310029) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954415701004774 × 6371000     		do = 291.503121747486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58799401-0.58804195) × cos(0.30305454) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954429355493477 × 6371000     		du = 291.507292179802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30310029)-sin(0.30305454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954415701004774-0.954429355493477)×R²
    abs(0.58804195-0.58799401)×1.36544887037182e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.36544887037182e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.36544887037182e-05×40589641000000     		ar = 84965.9700804631m²