Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77802 / 57414
↖ ↑ ↗
← N 21.764601°
E 33.689575°		 ← 283.65 m → N 21.764601°
E 33.692322°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.762050°
E 33.689575°		 ← 283.66 m →
80 455 m²		 N 21.762050°
E 33.692322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593585968017578 y=0.438037872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593585968017578 × 217)
    floor (0.593585968017578 × 131072)
    floor (77802.5)     		tx = 77802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438037872314453 × 217)
    floor (0.438037872314453 × 131072)
    floor (57414.5)     		ty = 57414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77802 / 57414 ti = "17/77802/57414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77802/57414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77802 ÷ 217
    77802 ÷ 131072     		x = 0.593582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57414 ÷ 217
    57414 ÷ 131072     		y = 0.438034057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593582153320312 × 2 - 1) × π
    0.187164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58799401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    0.123931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.389343498714096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58799401} λ = 0.58799401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389343498714096))-π/2
    2×atan(1.47601147230745)-π/2
    2×0.97533014084949-π/2
    1.95066028169898-1.57079632675     		φ = 0.37986395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58799401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.689575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37986395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.764601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77802 KachelY 57414 0.58799401 0.37986395 33.689575 21.764601
    Oben rechts KachelX + 1 77803 KachelY 57414 0.58804195 0.37986395 33.692322 21.764601
    Unten links KachelX 77802 KachelY + 1 57415 0.58799401 0.37981943 33.689575 21.762050
    Unten rechts KachelX + 1 77803 KachelY + 1 57415 0.58804195 0.37981943 33.692322 21.762050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37986395-0.37981943) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37986395-0.37981943) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58799401-0.58804195) × cos(0.37986395) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928715090711612 × 6371000     		do = 283.653493830232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58799401-0.58804195) × cos(0.37981943) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928731597545509 × 6371000     		du = 283.65853544219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37986395)-sin(0.37981943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928715090711612-0.928731597545509)×R²
    abs(0.58804195-0.58799401)×1.65068338976448e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65068338976448e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65068338976448e-05×40589641000000     		ar = 80455.3183441751m²