Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77800 / 57320
↖ ↑ ↗
← N 22.004175°
E 33.684082°		 ← 283.12 m → N 22.004175°
E 33.686828°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 22.001629°
E 33.684082°		 ← 283.12 m →
80 159 m²		 N 22.001629°
E 33.686828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593570709228516 y=0.437320709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593570709228516 × 217)
    floor (0.593570709228516 × 131072)
    floor (77800.5)     		tx = 77800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437320709228516 × 217)
    floor (0.437320709228516 × 131072)
    floor (57320.5)     		ty = 57320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77800 / 57320 ti = "17/77800/57320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77800/57320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77800 ÷ 217
    77800 ÷ 131072     		x = 0.59356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57320 ÷ 217
    57320 ÷ 131072     		y = 0.43731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43731689453125 × 2 - 1) × π
    0.1253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.393849567278381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58789814} λ = 0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393849567278381))-π/2
    2×atan(1.48267748868751)-π/2
    2×0.977420814623267-π/2
    1.95484162924653-1.57079632675     		φ = 0.38404530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38404530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.004175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77800 KachelY 57320 0.58789814 0.38404530 33.684082 22.004175
    Oben rechts KachelX + 1 77801 KachelY 57320 0.58794607 0.38404530 33.686828 22.004175
    Unten links KachelX 77800 KachelY + 1 57321 0.58789814 0.38400086 33.684082 22.001629
    Unten rechts KachelX + 1 77801 KachelY + 1 57321 0.58794607 0.38400086 33.686828 22.001629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38404530-0.38400086) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38404530-0.38400086) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58789814-0.58794607) × cos(0.38404530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927156556560419 × 6371000     		do = 283.118408239273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58789814-0.58794607) × cos(0.38400086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927173206164169 × 6371000     		du = 283.123492396072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38404530)-sin(0.38400086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927156556560419-0.927173206164169)×R²
    abs(0.58794607-0.58789814)×1.66496037498076e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66496037498076e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66496037498076e-05×40589641000000     		ar = 80159.2532627171m²