Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7780 / 9580
↖ ↑ ↗
← S 29.152161°
W  9.052734°		 ← 2 133.73 m → S 29.152161°
W  9.030762°		 →
↑
2 133.52 m
↓
↑
2 133.52 m
↓
S 29.171349°
W  9.052734°		 ← 2 133.33 m →
4 551 933 m²		 S 29.171349°
W  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474884033203125 y=0.584747314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474884033203125 × 214)
    floor (0.474884033203125 × 16384)
    floor (7780.5)     		tx = 7780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584747314453125 × 214)
    floor (0.584747314453125 × 16384)
    floor (9580.5)     		ty = 9580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7780 / 9580 ti = "14/7780/9580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7780/9580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7780 ÷ 214
    7780 ÷ 16384     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9580 ÷ 214
    9580 ÷ 16384     		y = 0.584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.16943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.532291333381104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532291333381104))-π/2
    2×atan(0.587257823433028)-π/2
    2×0.530997564170926-π/2
    1.06199512834185-1.57079632675     		φ = -0.50880120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50880120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.152161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7780 KachelY 9580 -0.15800002 -0.50880120 -9.052734 -29.152161
    Oben rechts KachelX + 1 7781 KachelY 9580 -0.15761653 -0.50880120 -9.030762 -29.152161
    Unten links KachelX 7780 KachelY + 1 9581 -0.15800002 -0.50913608 -9.052734 -29.171349
    Unten rechts KachelX + 1 7781 KachelY + 1 9581 -0.15761653 -0.50913608 -9.030762 -29.171349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50880120--0.50913608) × R
    0.000334880000000037 × 6371000     		dl = 2133.52048000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50880120--0.50913608) × R
    0.000334880000000037 × 6371000     		dr = 2133.52048000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(-0.50880120) × R
    0.000383489999999986 × 0.873329107269294 × 6371000     		do = 2133.73059141776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(-0.50913608) × R
    0.000383489999999986 × 0.873165927990616 × 6371000     		du = 2133.33190939067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50880120)-sin(-0.50913608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873329107269294-0.873165927990616)×R²
    abs(-0.15761653--0.15800002)×0.000163179278678482×R²
    0.000383489999999986×0.000163179278678482×6371000²
    0.000383489999999986×0.000163179278678482×40589641000000     		ar = 4551932.65999732m²