Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7780 / 9300
↖ ↑ ↗
← S 23.644524°
W  9.052734°		 ← 2 238.11 m → S 23.644524°
W  9.030762°		 →
↑
2 237.94 m
↓
↑
2 237.94 m
↓
S 23.664651°
W  9.052734°		 ← 2 237.77 m →
5 008 374 m²		 S 23.664651°
W  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474884033203125 y=0.567657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474884033203125 × 214)
    floor (0.474884033203125 × 16384)
    floor (7780.5)     		tx = 7780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567657470703125 × 214)
    floor (0.567657470703125 × 16384)
    floor (9300.5)     		ty = 9300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7780 / 9300 ti = "14/7780/9300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7780/9300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7780 ÷ 214
    7780 ÷ 16384     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9300 ÷ 214
    9300 ÷ 16384     		y = 0.567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424912678232178))-π/2
    2×atan(0.653826875955833)-π/2
    2×0.579060764736719-π/2
    1.15812152947344-1.57079632675     		φ = -0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7780 KachelY 9300 -0.15800002 -0.41267480 -9.052734 -23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 7781 KachelY 9300 -0.15761653 -0.41267480 -9.030762 -23.644524
    Unten links KachelX 7780 KachelY + 1 9301 -0.15800002 -0.41302607 -9.052734 -23.664651
    Unten rechts KachelX + 1 7781 KachelY + 1 9301 -0.15761653 -0.41302607 -9.030762 -23.664651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41267480--0.41302607) × R
    0.000351270000000015 × 6371000     		dl = 2237.94117000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41267480--0.41302607) × R
    0.000351270000000015 × 6371000     		dr = 2237.94117000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(-0.41267480) × R
    0.000383489999999986 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 2238.11018977259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(-0.41302607) × R
    0.000383489999999986 × 0.915910405848207 × 6371000     		du = 2237.76584988316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41267480)-sin(-0.41302607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.915910405848207)×R²
    abs(-0.15761653--0.15800002)×0.00014093721552344×R²
    0.000383489999999986×0.00014093721552344×6371000²
    0.000383489999999986×0.00014093721552344×40589641000000     		ar = 5008373.68198046m²