Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7780 / 4240
↖ ↑ ↗
← N 65.219894°
W  9.052734°		 ← 1 024.04 m → N 65.219894°
W  9.030762°		 →
↑
1 024.27 m
↓
↑
1 024.27 m
↓
N 65.210683°
W  9.052734°		 ← 1 024.40 m →
1 049 073 m²		 N 65.210683°
W  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474884033203125 y=0.258819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474884033203125 × 214)
    floor (0.474884033203125 × 16384)
    floor (7780.5)     		tx = 7780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258819580078125 × 214)
    floor (0.258819580078125 × 16384)
    floor (4240.5)     		ty = 4240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7780 / 4240 ti = "14/7780/4240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7780/4240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7780 ÷ 214
    7780 ÷ 16384     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4240 ÷ 214
    4240 ÷ 16384     		y = 0.2587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2587890625 × 2 - 1) × π
    0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5155730183877))-π/2
    2×atan(4.55202877584876)-π/2
    2×1.35454910688186-π/2
    2.70909821376373-1.57079632675     		φ = 1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7780 KachelY 4240 -0.15800002 1.13830189 -9.052734 65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 7781 KachelY 4240 -0.15761653 1.13830189 -9.030762 65.219894
    Unten links KachelX 7780 KachelY + 1 4241 -0.15800002 1.13814112 -9.052734 65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 7781 KachelY + 1 4241 -0.15761653 1.13814112 -9.030762 65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13830189-1.13814112) × R
    0.000160769999999921 × 6371000     		dl = 1024.2656699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13830189-1.13814112) × R
    0.000160769999999921 × 6371000     		dr = 1024.2656699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(1.13830189) × R
    0.000383489999999986 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 1024.04137724291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15761653) × cos(1.13814112) × R
    0.000383489999999986 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 1024.39799223019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13830189)-sin(1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.419282822133796)×R²
    abs(-0.15761653--0.15800002)×0.000145961373816839×R²
    0.000383489999999986×0.000145961373816839×6371000²
    0.000383489999999986×0.000145961373816839×40589641000000     		ar = 1049073.06387307m²