Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7780 / 1691
↖ ↑ ↗
← N 72.033289°
E161.894531°		 ← 1 507.31 m → N 72.033289°
E161.938476°		 →
↑
1 507.89 m
↓
↑
1 507.89 m
↓
N 72.019729°
E161.894531°		 ← 1 508.41 m →
2 273 683 m²		 N 72.019729°
E161.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94976806640625 y=0.20648193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94976806640625 × 213)
    floor (0.94976806640625 × 8192)
    floor (7780.5)     		tx = 7780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20648193359375 × 213)
    floor (0.20648193359375 × 8192)
    floor (1691.5)     		ty = 1691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7780 / 1691 ti = "13/7780/1691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7780/1691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7780 ÷ 213
    7780 ÷ 8192     		x = 0.94970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1691 ÷ 213
    1691 ÷ 8192     		y = 0.2064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94970703125 × 2 - 1) × π
    0.8994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82559261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2064208984375 × 2 - 1) × π
    0.587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82559261} λ = 2.82559261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84461189737976))-π/2
    2×atan(6.32564431481136)-π/2
    2×1.41400719783025-π/2
    2.82801439566049-1.57079632675     		φ = 1.25721807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82559261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25721807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.033289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7780 KachelY 1691 2.82559261 1.25721807 161.894531 72.033289
    Oben rechts KachelX + 1 7781 KachelY 1691 2.82635960 1.25721807 161.938476 72.033289
    Unten links KachelX 7780 KachelY + 1 1692 2.82559261 1.25698139 161.894531 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 7781 KachelY + 1 1692 2.82635960 1.25698139 161.938476 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25721807-1.25698139) × R
    0.000236679999999989 × 6371000     		dl = 1507.88827999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25721807-1.25698139) × R
    0.000236679999999989 × 6371000     		dr = 1507.88827999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82559261-2.82635960) × cos(1.25721807) × R
    0.000766989999999801 × 0.308464370267563 × 6371000     		do = 1507.30907551613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82559261-2.82635960) × cos(1.25698139) × R
    0.000766989999999801 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 1508.40917111711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25721807)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308464370267563-0.30868950013794)×R²
    abs(2.82635960-2.82559261)×0.000225129870377039×R²
    0.000766989999999801×0.000225129870377039×6371000²
    0.000766989999999801×0.000225129870377039×40589641000000     		ar = 2273683.11055522m²