Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77799 / 57385
↖ ↑ ↗
← N 21.838555°
E 33.681335°		 ← 283.51 m → N 21.838555°
E 33.684082°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.836006°
E 33.681335°		 ← 283.51 m →
80 360 m²		 N 21.836006°
E 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593563079833984 y=0.437816619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593563079833984 × 217)
    floor (0.593563079833984 × 131072)
    floor (77799.5)     		tx = 77799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437816619873047 × 217)
    floor (0.437816619873047 × 131072)
    floor (57385.5)     		ty = 57385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77799 / 57385 ti = "17/77799/57385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77799/57385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77799 ÷ 217
    77799 ÷ 131072     		x = 0.593559265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57385 ÷ 217
    57385 ÷ 131072     		y = 0.437812805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593559265136719 × 2 - 1) × π
    0.187118530273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58785020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437812805175781 × 2 - 1) × π
    0.124374389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.390733668803078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58785020} λ = 0.58785020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390733668803078))-π/2
    2×atan(1.47806480621825)-π/2
    2×0.975975510291522-π/2
    1.95195102058304-1.57079632675     		φ = 0.38115469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58785020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.681335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38115469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.838555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77799 KachelY 57385 0.58785020 0.38115469 33.681335 21.838555
    Oben rechts KachelX + 1 77800 KachelY 57385 0.58789814 0.38115469 33.684082 21.838555
    Unten links KachelX 77799 KachelY + 1 57386 0.58785020 0.38111020 33.681335 21.836006
    Unten rechts KachelX + 1 77800 KachelY + 1 57386 0.58789814 0.38111020 33.684082 21.836006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38115469-0.38111020) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38115469-0.38111020) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58785020-0.58789814) × cos(0.38115469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928235718416472 × 6371000     		do = 283.507081191597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58785020-0.58789814) × cos(0.38111020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928252267445989 × 6371000     		du = 283.512135691183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38115469)-sin(0.38111020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928235718416472-0.928252267445989)×R²
    abs(0.58789814-0.58785020)×1.65490295169768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65490295169768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65490295169768e-05×40589641000000     		ar = 80359.6049504447m²