Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77798 / 57390
↖ ↑ ↗
← N 21.825807°
E 33.678589°		 ← 283.53 m → N 21.825807°
E 33.681335°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.823258°
E 33.678589°		 ← 283.54 m →
80 385 m²		 N 21.823258°
E 33.681335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593555450439453 y=0.437854766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593555450439453 × 217)
    floor (0.593555450439453 × 131072)
    floor (77798.5)     		tx = 77798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437854766845703 × 217)
    floor (0.437854766845703 × 131072)
    floor (57390.5)     		ty = 57390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77798 / 57390 ti = "17/77798/57390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77798/57390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77798 ÷ 217
    77798 ÷ 131072     		x = 0.593551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57390 ÷ 217
    57390 ÷ 131072     		y = 0.437850952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593551635742188 × 2 - 1) × π
    0.187103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58780226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437850952148438 × 2 - 1) × π
    0.124298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390493984304977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58780226} λ = 0.58780226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390493984304977))-π/2
    2×atan(1.47771057945004)-π/2
    2×0.975864263477108-π/2
    1.95172852695422-1.57079632675     		φ = 0.38093220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58780226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.678589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38093220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.825807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77798 KachelY 57390 0.58780226 0.38093220 33.678589 21.825807
    Oben rechts KachelX + 1 77799 KachelY 57390 0.58785020 0.38093220 33.681335 21.825807
    Unten links KachelX 77798 KachelY + 1 57391 0.58780226 0.38088770 33.678589 21.823258
    Unten rechts KachelX + 1 77799 KachelY + 1 57391 0.58785020 0.38088770 33.681335 21.823258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38093220-0.38088770) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38093220-0.38088770) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58780226-0.58785020) × cos(0.38093220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928318460061715 × 6371000     		do = 283.532352619824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58780226-0.58785020) × cos(0.38088770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928335003619972 × 6371000     		du = 283.537405448347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38093220)-sin(0.38088770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928318460061715-0.928335003619972)×R²
    abs(0.58785020-0.58780226)×1.65435582569762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65435582569762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65435582569762e-05×40589641000000     		ar = 80384.8318007811m²