Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77798 / 57181
↖ ↑ ↗
← N 22.357696°
E 33.678589°		 ← 282.47 m → N 22.357696°
E 33.681335°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.355156°
E 33.678589°		 ← 282.47 m →
79 777 m²		 N 22.355156°
E 33.681335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593555450439453 y=0.436260223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593555450439453 × 217)
    floor (0.593555450439453 × 131072)
    floor (77798.5)     		tx = 77798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436260223388672 × 217)
    floor (0.436260223388672 × 131072)
    floor (57181.5)     		ty = 57181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77798 / 57181 ti = "17/77798/57181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77798/57181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77798 ÷ 217
    77798 ÷ 131072     		x = 0.593551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57181 ÷ 217
    57181 ÷ 131072     		y = 0.436256408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593551635742188 × 2 - 1) × π
    0.187103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58780226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436256408691406 × 2 - 1) × π
    0.127487182617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.400512796325569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58780226} λ = 0.58780226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400512796325569))-π/2
    2×atan(1.49258989604331)-π/2
    2×0.980505870673183-π/2
    1.96101174134637-1.57079632675     		φ = 0.39021541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58780226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.678589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39021541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.357696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77798 KachelY 57181 0.58780226 0.39021541 33.678589 22.357696
    Oben rechts KachelX + 1 77799 KachelY 57181 0.58785020 0.39021541 33.681335 22.357696
    Unten links KachelX 77798 KachelY + 1 57182 0.58780226 0.39017108 33.678589 22.355156
    Unten rechts KachelX + 1 77799 KachelY + 1 57182 0.58785020 0.39017108 33.681335 22.355156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39021541-0.39017108) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39021541-0.39017108) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58780226-0.58785020) × cos(0.39021541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924827142012876 × 6371000     		do = 282.466014221182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58780226-0.58785020) × cos(0.39017108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924844003688282 × 6371000     		du = 282.471164210871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39021541)-sin(0.39017108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924827142012876-0.924844003688282)×R²
    abs(0.58785020-0.58780226)×1.68616754068207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68616754068207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68616754068207e-05×40589641000000     		ar = 79776.5952524035m²