Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77797 / 57187
↖ ↑ ↗
← N 22.342455°
E 33.675843°		 ← 282.44 m → N 22.342455°
E 33.678589°		 →
↑
282.49 m
↓
↑
282.49 m
↓
N 22.339914°
E 33.675843°		 ← 282.44 m →
79 787 m²		 N 22.339914°
E 33.678589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593547821044922 y=0.436305999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593547821044922 × 217)
    floor (0.593547821044922 × 131072)
    floor (77797.5)     		tx = 77797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436305999755859 × 217)
    floor (0.436305999755859 × 131072)
    floor (57187.5)     		ty = 57187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77797 / 57187 ti = "17/77797/57187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77797/57187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77797 ÷ 217
    77797 ÷ 131072     		x = 0.593544006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57187 ÷ 217
    57187 ÷ 131072     		y = 0.436302185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593544006347656 × 2 - 1) × π
    0.187088012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58775433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436302185058594 × 2 - 1) × π
    0.127395629882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.400225174927849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58775433} λ = 0.58775433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400225174927849))-π/2
    2×atan(1.49216065698332)-π/2
    2×0.980372863361508-π/2
    1.96074572672302-1.57079632675     		φ = 0.38994940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58775433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.675843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38994940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.342455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77797 KachelY 57187 0.58775433 0.38994940 33.675843 22.342455
    Oben rechts KachelX + 1 77798 KachelY 57187 0.58780226 0.38994940 33.678589 22.342455
    Unten links KachelX 77797 KachelY + 1 57188 0.58775433 0.38990506 33.675843 22.339914
    Unten rechts KachelX + 1 77798 KachelY + 1 57188 0.58780226 0.38990506 33.678589 22.339914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38994940-0.38990506) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dl = 282.490139999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38994940-0.38990506) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dr = 282.490139999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58775433-0.58780226) × cos(0.38994940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92492829620706 × 6371000     		do = 282.437982134402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58775433-0.58780226) × cos(0.38990506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924945150777009 × 6371000     		du = 282.443128880096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38994940)-sin(0.38990506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92492829620706-0.924945150777009)×R²
    abs(0.58780226-0.58775433)×1.6854569948821e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6854569948821e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6854569948821e-05×40589641000000     		ar = 79786.6720798804m²