Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77794 / 57250
↖ ↑ ↗
← N 22.182318°
E 33.667603°		 ← 282.76 m → N 22.182318°
E 33.670349°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
N 22.179775°
E 33.667603°		 ← 282.77 m →
79 968 m²		 N 22.179775°
E 33.670349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593524932861328 y=0.436786651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593524932861328 × 217)
    floor (0.593524932861328 × 131072)
    floor (77794.5)     		tx = 77794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436786651611328 × 217)
    floor (0.436786651611328 × 131072)
    floor (57250.5)     		ty = 57250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77794 / 57250 ti = "17/77794/57250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77794/57250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77794 ÷ 217
    77794 ÷ 131072     		x = 0.593521118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57250 ÷ 217
    57250 ÷ 131072     		y = 0.436782836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593521118164062 × 2 - 1) × π
    0.187042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58761052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436782836914062 × 2 - 1) × π
    0.126434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.397205150251785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58761052} λ = 0.58761052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397205150251785))-π/2
    2×atan(1.48766109279589)-π/2
    2×0.978975410029587-π/2
    1.95795082005917-1.57079632675     		φ = 0.38715449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58761052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.667603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38715449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.182318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77794 KachelY 57250 0.58761052 0.38715449 33.667603 22.182318
    Oben rechts KachelX + 1 77795 KachelY 57250 0.58765845 0.38715449 33.670349 22.182318
    Unten links KachelX 77794 KachelY + 1 57251 0.58761052 0.38711010 33.667603 22.179775
    Unten rechts KachelX + 1 77795 KachelY + 1 57251 0.58765845 0.38711010 33.670349 22.179775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38715449-0.38711010) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38715449-0.38711010) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58761052-0.58765845) × cos(0.38715449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925987143876397 × 6371000     		do = 282.761314008172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58761052-0.58765845) × cos(0.38711010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926003902632369 × 6371000     		du = 282.766431495916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38715449)-sin(0.38711010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925987143876397-0.926003902632369)×R²
    abs(0.58765845-0.58761052)×1.67587559715132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67587559715132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67587559715132e-05×40589641000000     		ar = 79968.0804454585m²