Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77791 / 57887
↖ ↑ ↗
← N 20.553081°
E 33.659363°		 ← 285.98 m → N 20.553081°
E 33.662109°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.550509°
E 33.659363°		 ← 285.99 m →
81 791 m²		 N 20.550509°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593502044677734 y=0.441646575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593502044677734 × 217)
    floor (0.593502044677734 × 131072)
    floor (77791.5)     		tx = 77791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441646575927734 × 217)
    floor (0.441646575927734 × 131072)
    floor (57887.5)     		ty = 57887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77791 / 57887 ti = "17/77791/57887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77791/57887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77791 ÷ 217
    77791 ÷ 131072     		x = 0.593498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57887 ÷ 217
    57887 ÷ 131072     		y = 0.441642761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593498229980469 × 2 - 1) × π
    0.186996459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58746670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441642761230469 × 2 - 1) × π
    0.116714477539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.36666934519381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58746670} λ = 0.58746670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36666934519381))-π/2
    2×atan(1.44292073155251)-π/2
    2×0.964757627957748-π/2
    1.9295152559155-1.57079632675     		φ = 0.35871893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58746670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.659363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35871893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.553081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77791 KachelY 57887 0.58746670 0.35871893 33.659363 20.553081
    Oben rechts KachelX + 1 77792 KachelY 57887 0.58751464 0.35871893 33.662109 20.553081
    Unten links KachelX 77791 KachelY + 1 57888 0.58746670 0.35867404 33.659363 20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 77792 KachelY + 1 57888 0.58751464 0.35867404 33.662109 20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35871893-0.35867404) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35871893-0.35867404) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.35871893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936347343537606 × 6371000     		do = 285.98458029682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.35867404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 285.989393443975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35871893)-sin(0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936347343537606-0.936363102350712)×R²
    abs(0.58751464-0.58746670)×1.57588131064479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57588131064479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57588131064479e-05×40589641000000     		ar = 81790.6166742353m²