Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77791 / 57267
↖ ↑ ↗
← N 22.139076°
E 33.659363°		 ← 282.91 m → N 22.139076°
E 33.662109°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 22.136532°
E 33.659363°		 ← 282.91 m →
80 045 m²		 N 22.136532°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593502044677734 y=0.436916351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593502044677734 × 217)
    floor (0.593502044677734 × 131072)
    floor (77791.5)     		tx = 77791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436916351318359 × 217)
    floor (0.436916351318359 × 131072)
    floor (57267.5)     		ty = 57267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77791 / 57267 ti = "17/77791/57267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77791/57267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77791 ÷ 217
    77791 ÷ 131072     		x = 0.593498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57267 ÷ 217
    57267 ÷ 131072     		y = 0.436912536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593498229980469 × 2 - 1) × π
    0.186996459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58746670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436912536621094 × 2 - 1) × π
    0.126174926757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.396390222958244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58746670} λ = 0.58746670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396390222958244))-π/2
    2×atan(1.48644925101637)-π/2
    2×0.978598045916699-π/2
    1.9571960918334-1.57079632675     		φ = 0.38639977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58746670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.659363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38639977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.139076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77791 KachelY 57267 0.58746670 0.38639977 33.659363 22.139076
    Oben rechts KachelX + 1 77792 KachelY 57267 0.58751464 0.38639977 33.662109 22.139076
    Unten links KachelX 77791 KachelY + 1 57268 0.58746670 0.38635536 33.659363 22.136532
    Unten rechts KachelX + 1 77792 KachelY + 1 57268 0.58751464 0.38635536 33.662109 22.136532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38639977-0.38635536) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38639977-0.38635536) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.38639977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9262718284681 × 6371000     		do = 282.907258650837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.38635536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926288563732879 × 6371000     		du = 282.912370031466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38639977)-sin(0.38635536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9262718284681-0.926288563732879)×R²
    abs(0.58751464-0.58746670)×1.67352647792995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67352647792995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67352647792995e-05×40589641000000     		ar = 80045.4023636606m²