Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77791 / 57183
↖ ↑ ↗
← N 22.352616°
E 33.659363°		 ← 282.48 m → N 22.352616°
E 33.662109°		 →
↑
282.49 m
↓
↑
282.49 m
↓
N 22.350076°
E 33.659363°		 ← 282.48 m →
79 798 m²		 N 22.350076°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593502044677734 y=0.436275482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593502044677734 × 217)
    floor (0.593502044677734 × 131072)
    floor (77791.5)     		tx = 77791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436275482177734 × 217)
    floor (0.436275482177734 × 131072)
    floor (57183.5)     		ty = 57183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77791 / 57183 ti = "17/77791/57183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77791/57183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77791 ÷ 217
    77791 ÷ 131072     		x = 0.593498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57183 ÷ 217
    57183 ÷ 131072     		y = 0.436271667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593498229980469 × 2 - 1) × π
    0.186996459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58746670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436271667480469 × 2 - 1) × π
    0.127456665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.400416922526329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58746670} λ = 0.58746670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400416922526329))-π/2
    2×atan(1.49244680263883)-π/2
    2×0.98046153651904-π/2
    1.96092307303808-1.57079632675     		φ = 0.39012675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58746670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.659363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39012675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.352616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77791 KachelY 57183 0.58746670 0.39012675 33.659363 22.352616
    Oben rechts KachelX + 1 77792 KachelY 57183 0.58751464 0.39012675 33.662109 22.352616
    Unten links KachelX 77791 KachelY + 1 57184 0.58746670 0.39008241 33.659363 22.350076
    Unten rechts KachelX + 1 77792 KachelY + 1 57184 0.58751464 0.39008241 33.662109 22.350076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39012675-0.39008241) × R
    4.43400000000316e-05 × 6371000     		dl = 282.490140000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39012675-0.39008241) × R
    4.43400000000316e-05 × 6371000     		dr = 282.490140000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.39012675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924860863546233 × 6371000     		do = 282.476313645462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58746670-0.58751464) × cos(0.39008241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924877725389341 × 6371000     		du = 282.481463686371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39012675)-sin(0.39008241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924860863546233-0.924877725389341)×R²
    abs(0.58751464-0.58746670)×1.68618431076739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68618431076739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68618431076739e-05×40589641000000     		ar = 79797.5008194078m²