Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77790 / 57374
↖ ↑ ↗
← N 21.866597°
E 33.656616°		 ← 283.39 m → N 21.866597°
E 33.659363°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.864048°
E 33.656616°		 ← 283.40 m →
80 327 m²		 N 21.864048°
E 33.659363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593494415283203 y=0.437732696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593494415283203 × 217)
    floor (0.593494415283203 × 131072)
    floor (77790.5)     		tx = 77790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437732696533203 × 217)
    floor (0.437732696533203 × 131072)
    floor (57374.5)     		ty = 57374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77790 / 57374 ti = "17/77790/57374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77790/57374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77790 ÷ 217
    77790 ÷ 131072     		x = 0.593490600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57374 ÷ 217
    57374 ÷ 131072     		y = 0.437728881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593490600585938 × 2 - 1) × π
    0.186981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58741877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437728881835938 × 2 - 1) × π
    0.124542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.391260974698898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58741877} λ = 0.58741877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391260974698898))-π/2
    2×atan(1.47884440403017)-π/2
    2×0.976220218363894-π/2
    1.95244043672779-1.57079632675     		φ = 0.38164411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58741877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.656616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38164411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.866597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77790 KachelY 57374 0.58741877 0.38164411 33.656616 21.866597
    Oben rechts KachelX + 1 77791 KachelY 57374 0.58746670 0.38164411 33.659363 21.866597
    Unten links KachelX 77790 KachelY + 1 57375 0.58741877 0.38159962 33.656616 21.864048
    Unten rechts KachelX + 1 77791 KachelY + 1 57375 0.58746670 0.38159962 33.659363 21.864048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38164411-0.38159962) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38164411-0.38159962) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58741877-0.58746670) × cos(0.38164411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92805354666295 × 6371000     		do = 283.392314957872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58741877-0.58746670) × cos(0.38159962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928070115902343 × 6371000     		du = 283.397374574448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38164411)-sin(0.38159962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92805354666295-0.928070115902343)×R²
    abs(0.58746670-0.58741877)×1.65692393934158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65692393934158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65692393934158e-05×40589641000000     		ar = 80327.0756699926m²