Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7779 / 9581
↖ ↑ ↗
← S 29.171349°
W  9.074707°		 ← 2 133.39 m → S 29.171349°
W  9.052734°		 →
↑
2 133.20 m
↓
↑
2 133.20 m
↓
S 29.190533°
W  9.074707°		 ← 2 132.99 m →
4 550 521 m²		 S 29.190533°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474822998046875 y=0.584808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474822998046875 × 214)
    floor (0.474822998046875 × 16384)
    floor (7779.5)     		tx = 7779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584808349609375 × 214)
    floor (0.584808349609375 × 16384)
    floor (9581.5)     		ty = 9581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7779 / 9581 ti = "14/7779/9581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7779/9581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7779 ÷ 214
    7779 ÷ 16384     		x = 0.47479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9581 ÷ 214
    9581 ÷ 16384     		y = 0.58477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.0504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15838352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532674828578064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15838352} λ = -0.15838352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532674828578064))-π/2
    2×atan(0.587032656056428)-π/2
    2×0.530830121055611-π/2
    1.06166024211122-1.57079632675     		φ = -0.50913608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15838352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50913608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.171349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7779 KachelY 9581 -0.15838352 -0.50913608 -9.074707 -29.171349
    Oben rechts KachelX + 1 7780 KachelY 9581 -0.15800002 -0.50913608 -9.052734 -29.171349
    Unten links KachelX 7779 KachelY + 1 9582 -0.15838352 -0.50947091 -9.074707 -29.190533
    Unten rechts KachelX + 1 7780 KachelY + 1 9582 -0.15800002 -0.50947091 -9.052734 -29.190533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50913608--0.50947091) × R
    0.000334830000000008 × 6371000     		dl = 2133.20193000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50913608--0.50947091) × R
    0.000334830000000008 × 6371000     		dr = 2133.20193000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15838352--0.15800002) × cos(-0.50913608) × R
    0.000383500000000009 × 0.873165927990616 × 6371000     		do = 2133.38753879207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15838352--0.15800002) × cos(-0.50947091) × R
    0.000383500000000009 × 0.873002675176854 × 6371000     		du = 2132.98866670214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50913608)-sin(-0.50947091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873165927990616-0.873002675176854)×R²
    abs(-0.15800002--0.15838352)×0.000163252813761838×R²
    0.000383500000000009×0.000163252813761838×6371000²
    0.000383500000000009×0.000163252813761838×40589641000000     		ar = 4550521.02034723m²